Matrici invertibili

[prapa1]

allora il professore,considerando una matrice quadrata A(nxn), mi da questa proposizione dicendomi che :
"le seguenti affermazioni sono equivalenti" :
1.detA diverso da zero
2.La matrice inversa esiste
3.rango A=n
4.i vettori colnna di A sono linearmente indipendenti
5.i vettori riga sono linearmente dipendenti

per la dimostrazione mi dice di verificare che
1 vale se e solo se 2
1 vale se e solo se 3
2 implica 4
4 implica 2
1 se e solo se 5

quello che non riesco a dimostrare è che 4 implica 2 -anche perchè il fatt che 1 vale se e solo se 5 deriva dalla dim di 4 implica 2 o meglio vi si può ricollegare facilmente.

dunque io devo dimostrare che se i vettori sono lin.ind allora esiste l'inversa di A.
dico che sccome i vettori sono lin. ind. e generano lo spazio Rn perchè fanno partedella matrice A(nxn) , allora per la definizione di base l'insieme di questi vetori , mettiamo S=[a.1, .....a.1,......a.n ] è una base. fino a qui mi torna.
adesso la dimostrazione dice che ciascuno dei vettori di S è uguale ad una combinazione lineare d questi vettori (perchè??????)
e già qui non capisco ..
cmunque andando avanti mi dice che se vale tuto quello detto sopra, allora per qualsias K €(1...,n) il vettore K-esimo della base canonica (ek) è esprimibile mediante una combinzione lineare di S (perchè???cioè perchè devoscomodare la base cannica?)

in conclusione ,per ogni K , esiste un vettore bk appartenente ad Rn tale che , ek= A bk
ovvero:
e1= Ab1
..
ei=A bi
..
en=A bn

ovvero :
[e1..,ei,...en] = [A b1...,A bk...Abn]

e considerando B =[b1,...bk...bn] per dimostrare l'esistenza del'inversa
devo far vedere che
AB = I con B uguale all'inversa

qualcuno sa spiegarmi tutto cio?
grazie (spero di essere stata chiara)

[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).[/mod]

[dissonance]

Allora, guarda sulla parte in grassetto faccio fatica a seguirti (magari se passi da https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html e usi questo sistema di scrittura va meglio), comunque penso di avere inquadrato il problema. Prendiamo una matrice $A$ di $m$ righe per $n$ colonne, e una matrice $v$ di $n$ righe per $1$ colonna (vettore colonna). Che significa moltiplicare $A$ per $v$? Stando alla definizione, $Av$ è il vettore colonna la cui $i$-esima entrata è $sum_{k=1}^na_{i, k}v_{k}$. Ma così non si vede bene che cos'è veramente $Av$: infatti se indichiamo con $A_1, A_2, ..., A_n$ le colonne di $A$, fatti due conti risulta che $Av=v_1A_1+v_2A_2+ldots+v_nA_n$. Ovvero moltiplicando una matrice per un vettore colonna si ottiene la combinazione lineare delle colonne della matrice di coefficienti le entrate del vettore.

[prapa1]

si ma quello che non capisco è a monte..perchè ricorro alla base canonica dopo aver dimostrato che l'insieme di vettori lin. indip. in Rn è una base?

[prapa1]

cioè ricorro alla banonica perchè alla fine voglio dimostrare che AB=I ?
dove I è la matrice identità?

[dissonance]

Ah e per concludere manca una cosa. Quando moltiplichiamo una matrice $A$ per una matrice $B$, le colonne della matrice prodotto $AB$ sono esattamente $A(B_1), A(B_2), ..., A(B_n)$, dove sto continuando a indicare con $B_i$ la $i$-esima colonna di $B$. E un'ultimo suggerimento: i vettori della base canonica di $RR^n$ non sono altro che le colonne della matrice identica $ntimesn$. Adesso hai tutti gli ingredienti per capire la dimostrazione del tuo professore, se serve qualche altro suggerimento fai un fischio.

[edit] abbiamo scritto contemporaneamente, forse però con questo post ho risposto alla tua domanda.

[prapa1]

o grazie mille..
un altro chiarimento..
se io so che uno spazio V è generato da r vettori e considero un numero di vettori b (non so se è corretto però tempo fa il professore aveva detto che bastava aggiungere zero a tutte quei vettori r-b )

[adaBTTLS1]

non ho letto tutto, ma è un errore di battitura al rigo 5.? i vettori riga sono linearmente indipendenti... se valgono tutte quelle altre cose.

[prapa1]

si è un errore di battitura

[adaBTTLS1]

io sono secoli che non mi occupo più di queste cose, però, sperando di non dire cantonate, ricordo che un certo numero di vettori linearmente indipendenti costituiscono una base per uno spazio se e solo se il loro numero è uguale alla dimensione dello spazio o equivalentemente se ogni vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare di essi.
spero di aver chiarito qualcosa. facciamo un passetto per volta. ciao.

[prapa1]

"adaBTTLS":io sono secoli che non mi occupo più di queste cose, però, sperando di non dire cantonate, ricordo che un certo numero di vettori linearmente indipendenti costituiscono una base per uno spazio se e solo se il loro numero è uguale alla dimensione dello spazio o equivalentemente se ogni vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare di essi.
spero di aver chiarito qualcosa. facciamo un passetto per volta. ciao.

e quindi come risolveresti l'esercizio che ho proposto prima ovvero
se io so che uno spazio V è generato da r vettori e considero un numero di vettori b

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[Camillo]

"prapa":

e quindi come risolveresti l'esercizio che ho proposto prima ovvero
se io so che uno spazio V è generato da r vettori e considero un numero di vettori b

Vorrebbe dire che gli $ r $ vettori sono linearmente dipendenti .

[prapa1]

"Camillo":[quote="prapa"]

e quindi come risolveresti l'esercizio che ho proposto prima ovvero
se io so che uno spazio V è generato da r vettori e considero un numero di vettori b

Vorrebbe dire che gli $ r $ vettori sono linearmente dipendenti .[/quote]

non ho capito scusami uello ce intendi..come faccio io a dire che b genera V

[Camillo]

Se $V$ è generato da $r $ vettori e anche $ b $ vettori ( con $b

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[prapa1]

"Camillo":Se $V$ è generato da $r $ vettori e anche $ b $ vettori ( con $b

scusa l'insistenza ..io so che r genera V , la mia domanda è questa..è possibile che un insieme di vettori b < r generino V?

[Camillo]

Sì è possibile.
Esempio
Considero che lo spazio $V $ sia $RR^2 $. Come vettori generatori di $RR^2 $ scelgo $(1,0) ,(1,1),(0,1) $; quindi $r=3 $.

Ma $RR^2 $ è generato anche dai vettori $(1,0),(0,1) $ ed è quindi $b=2 < 3=r $.

[adaBTTLS1]

dal testo dell'esercizio si parla come dimensione solo di n... ora tu parli di b e di r con b
dal mio precedente messaggio e da quello che ti ha detto Camillo, quando parlava di dimensione minore o uguale a b, dovresti aver capito che

V può essere generato da un numero di vettori linearmente indipendenti in numero uguale alla sua dimensione,
non può essere generato da un numero di vettori inferiore alla sua dimansione, sia essi indipendenti sia essi dipendenti,
può essere generato da un numero di vettori maggiore della sua dimensione, ma questi non possono essere indipendenti.

quindi, se dim(V)=r, V non può essere generato da b vettori (se b se dim(V)=b, V può essere generato da b vettori se e solo se questi sono linearmente indipendenti, mentre può anche essere generato da r vettori (con r>b), però questi non possono essere linearmente indipendenti (semplicemente perché non esiste un sistema di r vettori linearmente indipendenti, se lo spazio ha dimensione inferiore).
pensa alla retta: la direzione è solo una, se prendi due vettori sulla retta questi avranno la stessa direzione, quindi non possono essere indipendenti.
in un piano basta prendere due vettori che non hanno la stessa direzione ed hai costituito una base per esprimere tutti i vettori del piano come combinazione lineare di quei due. (se fai riferimento alle basi ortonormali, i versori i, j, k dello spazio, o solo i e j nel piano, non ti dicono nulla?)

spero di essere stata utile. ciao.