Matrici ed endomorfismi
sia A una matrice tale che $A^2=-I $ e sia $f$ l'endomorfismo associato ad A. provare che $f$ non ha autovalori e dedurre che $det(A)=1$
questo esercizio mi sembra enigmatico, non so da dove inziare, quali teoremi sfruttare...
questo esercizio mi sembra enigmatico, non so da dove inziare, quali teoremi sfruttare...
Risposte
"marixg":
sia A una matrice tale che $A^2=-I $ e sia $f$ l'endomorfismo associato ad A. provare che $f$ non ha autovalori e dedurre che $det(A)=1$
[...]
Mi sembra strano che ti venga chiesto di provare che \(\displaystyle \text{det}(A)=1 \); infatti se \(\displaystyle A^{2}=-\mathbb{1}_{n} \), allora \(\displaystyle \text{det}(A^{2})=\text{det}(-\mathbb{1}_{n})=-1 \). Ma per il teorema di Binet \(\displaystyle \text{det}(A^{2})=\text{det}(A) \cdot \text{det}(A) \) e l'incongruenza emerge subito.
non so, c'e' scritto cosi..
"Delirium":
allora \(\displaystyle \text{det}(A^{2})=\text{det}(-\mathbb{1}_{n})=-1 \)
Attenzione che questo non è vero sempre. Se $n$ è pari, allora \(\displaystyle \text{det}(-\mathbb{1}_{n})=1 \) , mentre se $n$ è dispari hai \(\displaystyle \text{det}(-\mathbb{1}_{n})=-1 \) .
Hai ragione, Seneca.
e dunque come risolvo l'esercizio?
Non viene specificata la dimensione di $A$?
Paola
Paola
nxn
Mi sembra strano, come ti hanno mostrato sopra non è sempre vero che una matrice del genere abbia $det A =1$, dipende dalla dimensione.
Paola
Paola
si quello l'ho capito.. ma non so come svolgere l'esercizio.. è strano vero???
La prima parte si fa, cioè: supponiamo esista un autovalore $\lambda$, quindi $A=PBP^{-1}$ dove la prima colonna di $B$ è $((\lambda),(0),(\vdots), (0))$ (dico la prima perché si può scegliere la base opportunamente per avere l'autovalore nella prima).
Ora, $A^2 = -I = (PBP^{-1})(PBP^{-1})= PB^2 P^{-1}$ che implica, moltiplicando per $P$ a destra e poi per $P^-1$ a sinistra, $B^2 = -I$. In particolare, l'elemento di posto $(1,1)$ in $B^2$ sarà $\lambda^2$. Quindi si ha $\lambda^2=-1$ ?!. Assurdo.
Paola
Ora, $A^2 = -I = (PBP^{-1})(PBP^{-1})= PB^2 P^{-1}$ che implica, moltiplicando per $P$ a destra e poi per $P^-1$ a sinistra, $B^2 = -I$. In particolare, l'elemento di posto $(1,1)$ in $B^2$ sarà $\lambda^2$. Quindi si ha $\lambda^2=-1$ ?!. Assurdo.
Paola
Ciao Paola,
non conoscendo la prima riga di $B$ come deduci questo fatto?
"prime_number":
l'elemento di posto $(1,1)$ in $B^2$ sarà $\lambda^2$
non conoscendo la prima riga di $B$ come deduci questo fatto?
L'elemento di posto $(1,1)$ sarà il risultato di:
$(\lambda, b_{12}, ...,b_{1n})((\lambda),(0),(\vdots),(0))=\lambda^2$
Paola
$(\lambda, b_{12}, ...,b_{1n})((\lambda),(0),(\vdots),(0))=\lambda^2$
Paola
Giustissimo, avevo fatto confusione io (un magico prodotto "colonne per righe"). Grazie.
e per dedurre che A ha determinante uguale ad 1 come dovrei fare...
Molto probabilmente il testo presuppone che la matrice sia reale, infatti se fosse complessa avrebbe sicuramente degli autovalori.
Da $A^2=-I$ portando tutto a un membro si ottiene $A^2+I=0$. Quindi $A$ soddisfa il polinomio $t^2+1 in RR[t]$, ed essendo questo irriducibile (appunto se come campo consideriamo $RR$!) non può che essere lui stesso il polinomio minimo di $A$. Allora gli autovalori sono $i$ e $-i$, che non sono in $RR$. Quindi il determinante, che è prodotto degli autovalori, è della forma $((+i)(-i))^k$ (il polinomio caratteristico non può che essere della forma $(t^2+1)^k$, in quanto polinomio caratteristico e minimo presentano gli stessi fattori irriducibili), cioè $1$ perché $(+1)(-i)=1$
Notiamo che $n$ è necessariamente pari, infatti se una matrice quadrata reale è tale che $A^2=-I$, allora
1) il polinomio minimo, per quanto detto, è $t^2+1$, perciò il polinomio caratteristico, che ne è una potenza, è necessariamente di grado pari (il grado del polinomio caratteristico è sempre uguale all'ordine della matrice)
2) se $A^2=-I$ allora per il teorema di Binet si ha $det^2(A)=(-1)^n$, da cui segue che $n$ è necessariamente pari
In ogni caso l'enunciato è vero se e solo se il campo $K$ è tale che $t^2+1$ è irriducibile in $K[t]$.
Da $A^2=-I$ portando tutto a un membro si ottiene $A^2+I=0$. Quindi $A$ soddisfa il polinomio $t^2+1 in RR[t]$, ed essendo questo irriducibile (appunto se come campo consideriamo $RR$!) non può che essere lui stesso il polinomio minimo di $A$. Allora gli autovalori sono $i$ e $-i$, che non sono in $RR$. Quindi il determinante, che è prodotto degli autovalori, è della forma $((+i)(-i))^k$ (il polinomio caratteristico non può che essere della forma $(t^2+1)^k$, in quanto polinomio caratteristico e minimo presentano gli stessi fattori irriducibili), cioè $1$ perché $(+1)(-i)=1$
Notiamo che $n$ è necessariamente pari, infatti se una matrice quadrata reale è tale che $A^2=-I$, allora
1) il polinomio minimo, per quanto detto, è $t^2+1$, perciò il polinomio caratteristico, che ne è una potenza, è necessariamente di grado pari (il grado del polinomio caratteristico è sempre uguale all'ordine della matrice)
2) se $A^2=-I$ allora per il teorema di Binet si ha $det^2(A)=(-1)^n$, da cui segue che $n$ è necessariamente pari
In ogni caso l'enunciato è vero se e solo se il campo $K$ è tale che $t^2+1$ è irriducibile in $K[t]$.
grazie mille:)
di niente! 
ciao sono nuova, volevo chiedervi aiuto per un esercizio.
"data l'applicazione lineare da R2∋(x,y)→ (2x-y, 3x+y, -y)∈R3 calcolare la mtrice associata rispetto alle basi standard di R2 e R3.calcolare inoltre la matrice associata nelle basi (1, -1) e (1, 1) per R2 e (1, -1, -1 ), (0,0,1) e (1,0,1) per R3."
io ho provato a risolverlo ma nn sono sicura che sia esatto... pee favore potreste anche spiegarmi il procedimento dato che è quello che effettivamente mi interessa? vi ringrazio in anticipo!
"data l'applicazione lineare da R2∋(x,y)→ (2x-y, 3x+y, -y)∈R3 calcolare la mtrice associata rispetto alle basi standard di R2 e R3.calcolare inoltre la matrice associata nelle basi (1, -1) e (1, 1) per R2 e (1, -1, -1 ), (0,0,1) e (1,0,1) per R3."
io ho provato a risolverlo ma nn sono sicura che sia esatto... pee favore potreste anche spiegarmi il procedimento dato che è quello che effettivamente mi interessa? vi ringrazio in anticipo!
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