Matrici e ranghi

[pino881]

Ciao!
qualcuno mi potrebbe aiutare con la dimostrazione di questa proposizione, oppure indicarmi dove la posso trovare?

Sia A una matrice mxn. Dimostrare che A ha rango r se e solo se esiste una sottomatrice invertibile rxr, ma nessuna sottomatrice sxs di A è invertibile, per s>r.

Grazie
Ciao ciao

[Megan00b]

Il rango di A è il massimo numero di colonne lin indipendenti di A, matrice m x n. Allora il rango è r sse ci sono r colonne lin indipendenti. Allora poichè ovviamente r
Il viceversa è praticamente già dimostrato. Basta che ripercorri il diretto al contrario.

[pino881]

"Megan00b":Ciò che ottieni è una matrice r x r invertibile perchè le sue colonne sono lin indipendenti per costruzione.

Eh ma chi mi garantisce che le colonne ottenute selezionando i primi r elementi da colonne linearmente indipendenti siano anch'esse linearmente indipendenti? Ad esempio i vettori (1,1,1) e (1,1,0) sono linearmente indipendenti, ma (1,1) e (1,1) non lo sono!

[nirvana2]

"pino88":[quote="Megan00b"]Ciò che ottieni è una matrice r x r invertibile perchè le sue colonne sono lin indipendenti per costruzione.

Eh ma chi mi garantisce che le colonne ottenute selezionando i primi r elementi da colonne linearmente indipendenti siano anch'esse linearmente indipendenti? Ad esempio i vettori (1,1,1) e (1,1,0) sono linearmente indipendenti, ma (1,1) e (1,1) non lo sono![/quote]

Se metti quei due vettori in riga e la risolvi con Gauss vedi che il rango è uguale a 2=r. Non devi prendere la sottomatrice cosi come capita, devi risolverla...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Secondo me lo puoi fare per induzione sul numero delle colonne: se c'e' solo una colonna il risultato e' immediato, altrimenti supponiamo il risultato vero per ogni matrice che abbia n-1 colonne. Prendiamo una matrice A di n colonne e rango r = numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Allora se r=n il risultato e' provato, se invece rr, allora le colonne di A corrispondenti alle colonne di tale sottomatrice sarebbero s e sarebbero indipendenti, contro la massimalita' di r (infatti se tot colonne hanno una sottomatrice quadrata invertibile di ordine pari al numero delle colonne, allora esse sono indipendenti).

[pino881]

"nirvana":[quote="pino88"][quote="Megan00b"]Ciò che ottieni è una matrice r x r invertibile perchè le sue colonne sono lin indipendenti per costruzione.

Eh ma chi mi garantisce che le colonne ottenute selezionando i primi r elementi da colonne linearmente indipendenti siano anch'esse linearmente indipendenti? Ad esempio i vettori (1,1,1) e (1,1,0) sono linearmente indipendenti, ma (1,1) e (1,1) non lo sono![/quote]

Se metti quei due vettori in riga e la risolvi con Gauss vedi che il rango è uguale a 2=r. Non devi prendere la sottomatrice cosi come capita, devi risolverla...[/quote]

Ok, ho capito che è così...ma come faccio a dimostrarlo nel caso generale? Cioè, io trovo nella matrice di partenza r colonne linearmente indipendenti, ed r righe linearmente indipendenti, e prendo la sottomatrice "intersezione" di queste righe e queste colonne. Come si dimostra che è invertibile?

Anche il procedimento per induzione è molto interessante..grazie!