Matrici e applicazioni lineari

[Hop Frog1]

Se ogni matrice corrisponde a una e una sola applicazione lineare è possibile ricondursi univocamente alla sua formulazione f(x,y)=(...) data la matrice?

Mi spiego.
Sia per esempio
$ M = | ( 3 , 5 ),( 0 , 2 ) | $
la matrice corrispondente a un applicazione lineare sul piano cartesiano espressa secondo i due vettori di base canonica B={(1,0),(0,1)}
Dunque:
f(1,0)=(3,0)
f(0,1)=(5,2)

Ora dunque c è un modo per poter esprimere la definizione di f dove f(x,y)=(.... , .....) =

[@melia]

Basta fare il prodotto righe per colonne con il vettore generico $(x,y)$, cioè $f(x,y)=(3x+5y, 2y)$

[Hop Frog1]

non era poi così difficile effettivamente...
comunque mi è sorto un nuovo dubbio questo puramente teorico.
Dato uno sp. vettoriale e un applicazione lineare, l insieme degli autovettori rispotto a questa funzione è detto autospazio ed è anch esso uno spazio vettoriale, giusto?
ma come fa ad essere uno spazio vettoriale se, per definizione, un autovettore non può essere nullo? questo vuol dire che l autospazio non conterrà il vettore nullo, dunque come può essere considerato uno sp. vett?

[mistake89]

C'è qualche imprecisione in questo ragionamento.
Anzitutto l'autospazio è relativo ad un autovalore, quindi contiene tutti gli autovettori relativi a quel determinato autovalore...
Poi ragiona un attimo sulla definizione di autovettore e/o autovalore... la sua definizione, a te ben nota, è $f(v)=lambda(v)$.
Ma la $f$ è lineare, e nella definizione di applicazione lineare c'è il fatto che è un morfismo di gruppi, cioè manda il vettore nullo nel vettore nullo... e un qualsiasi scalare per il vettore nullo è il vettore nullo, per una banale proprietà degli spazi vettoriali... mettendo insieme queste cose si ha $f(0_v)=lambda(0_v)=0_v$, che è indipendente dall'autovalore e dall'applicazione lineare scelta. Quindi in ogni autospazio è presente il vettore nullo!