Matrici e applicazioni lineari

[nicolétoile]

Se ho un'applicazione così:

sia A:={A$in$$M_3$(R) / A=-$A^t$} lo spazio vettoriale delle matrici 3x3 antisimmtriche. Sia $F_2$
[x] in A l'applicazione così definita:


F(a+bx+$cx^2$) = $((0,a+b-c,a+c),(-a-b+c,0,2a-b+4c),(-a-c,-2a+b-4c,0))$

Scrivere l matrice associata a F nelle basi canoniche di $F_2$ [x] e A, rispettivamente, poi determinare immagine e nucleo....


io ho scritto le matrici a$((0,1,1),(-1,0,2),(-1,-2a,0))$ + b$((0,1,0),(-1,0,-1),(0,1,0))$ +c$((0,-1,1),(1,0,41),(-1,-4,0))$

come posso continuare l'esercizio?

[ciampax]

Credo tu stia facendo un po' di confusione: le basi canoniche di $F_2[x]$ e $A$ sono, rispettivamente:

$\{1,x,x^2\}$ e $\{\ ((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0)),((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0)),((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))\ \}$

Allora, se indichiamo con $A_1,A_2,A_3$ le matrici della base canonica di $A$, si ha

$F(1)=((0,1,1),(-1,0,2),(-1,-2,0))=A_1+A_2+2A_3$

$F(x)=((0,1,0),(-1,0,-1),(0,1,0))=A_1-A_3$

$F(x^2)=((0,-1,1),(1,0,4),(-1,-4,0))=-A_1+A_2+4A_3$.

La matrice associata ad $F$ in queste basi la ottieni allora scrivendo la matrice che ha per colonne i coefficenti delle combinazioni lineari scritte sopra, e cioè

$M=((1,1,-1),(1,0,1),(2,-1,4))$

A questo punto il resto dell'esercizio è standard.

[nicolétoile]

[quote=ciampax]Credo tu stia facendo un po' di confusione: le basi canoniche di $F_2[x]$ e $A$ sono, rispettivamente:

$\{1,x,x^2\}$ e $\{\ ((0,1,0),(-1,0,0),(0,0,0)),((0,0,1),(0,0,0),(-1,0,0)),((0,0,0),(0,0,1),(0,-1,0))\ \}$





grazie infinite per l'aiuto...ultimo dubbio, come hai fatto a trovare la base canonica della matrice?

[ciampax]

Cerca su un buon libro di algebra lineare: ci stanno scritte!

[nicolétoile]

il mio libro non è il massimo, cmq scusami, ho visto male...ho capito come prendere la base, grazie ancora