Matrici diagonalizzabili stesso polinomio caratteristico
Salve,
Devo vedere se è vera o falsa questa affermazione:
$A,B$ diagonalizzabili, allora $A,B$ simili $iff$ hanno lo stesso polinomio caratteristico.
$Leftarrow$ ce l'ho, già l'ho verificata.
Mi manca $Rightarrow$
Mi viene da dire che $A,B$ hanno stesso polinomio caratteristico, quindi stessi autovalori e siccome sono entrambe diagonalizzabili, sono simili alla stessa matrice $D$ e quindi simili tra loro, ma sento che manca qualcosa!
Che dite?
Devo vedere se è vera o falsa questa affermazione:
$A,B$ diagonalizzabili, allora $A,B$ simili $iff$ hanno lo stesso polinomio caratteristico.
$Leftarrow$ ce l'ho, già l'ho verificata.
Mi manca $Rightarrow$
Mi viene da dire che $A,B$ hanno stesso polinomio caratteristico, quindi stessi autovalori e siccome sono entrambe diagonalizzabili, sono simili alla stessa matrice $D$ e quindi simili tra loro, ma sento che manca qualcosa!
Che dite?
Risposte
Così a occhio mi viene da dire che è vera ma non sono sicuro. Non ho capito bene quello che vuoi dimostrare comunque ho intuito questo:
Vuoi dire che se A e B diagonalizzabili implica che A e B sono simili allora A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Dim:
Poiché A e B sono simili allora $ \exists C \in GL( n, K ) : A = C^(-1) B C $ inoltre A e B sono diagonalizzabili perciò $ \exists M, N \in GL( n, K ): M^(-1) A M, N^(-1) B N$ sono diagonali.
Prendiamo allora $M^(-1) A M$ matrice diagonale con autovalori di A e ricordando che $A = C^(-1) B C$ allora $ M^(-1) C^(-1) B C M$ è una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori di A. Adesso possiamo scrivere che $( CM ) ^(-1) B ( CM )$ rappresenta la matrice A diagonalizzata, allora posto $D = CM$ possiamo dire che $ \exists D \in OL(n, K ): D^(-1) B D$ è diagonale, ma allora la matrice $ D^(-1) B D $ ha sulla diagonale gli autovalori di B, ma anche quelli di A, perciò coincidono i polinomi caratteristici di A e B
Vuoi dire che se A e B diagonalizzabili implica che A e B sono simili allora A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Dim:
Poiché A e B sono simili allora $ \exists C \in GL( n, K ) : A = C^(-1) B C $ inoltre A e B sono diagonalizzabili perciò $ \exists M, N \in GL( n, K ): M^(-1) A M, N^(-1) B N$ sono diagonali.
Prendiamo allora $M^(-1) A M$ matrice diagonale con autovalori di A e ricordando che $A = C^(-1) B C$ allora $ M^(-1) C^(-1) B C M$ è una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori di A. Adesso possiamo scrivere che $( CM ) ^(-1) B ( CM )$ rappresenta la matrice A diagonalizzata, allora posto $D = CM$ possiamo dire che $ \exists D \in OL(n, K ): D^(-1) B D$ è diagonale, ma allora la matrice $ D^(-1) B D $ ha sulla diagonale gli autovalori di B, ma anche quelli di A, perciò coincidono i polinomi caratteristici di A e B
Devo dverificare che essendo $A,B$ matrici diagonalizzabili, è vera la seguente affermazione:
$A,B$ hanno stesso polinomio caratteristico $Rightarrow$ $A,B$ simili
No , non dico che diagonalizzabili implica simili, voglio solo dire che ho a che fare con 2 matrici diagonalizzabili.
In generale è falso che se 2 matrici hanno stesso p.c. allora sono simili, e io dimostro ciò prendendo 2 matrici con stesso p.c. ma una diagonalizzabile e una no, e allora non sono simili.
Ma in questo caso non funziona questo ragionamento, essendo entrambe diagonalizzabili.
$A,B$ hanno stesso polinomio caratteristico $Rightarrow$ $A,B$ simili
Vuoi dire che se A e B diagonalizzabili implica che A e B sono simili...
No , non dico che diagonalizzabili implica simili, voglio solo dire che ho a che fare con 2 matrici diagonalizzabili.
In generale è falso che se 2 matrici hanno stesso p.c. allora sono simili, e io dimostro ciò prendendo 2 matrici con stesso p.c. ma una diagonalizzabile e una no, e allora non sono simili.
Ma in questo caso non funziona questo ragionamento, essendo entrambe diagonalizzabili.
Scusami avevo capito che volevi dimostrare:
SE $A, B$ diagonalizzabili $\Rightarrow A, B$ simili ALLORA $A, B$ stesso pol. car.
Comunque, siano $A, B$ diagonalizzabili e sia $P_A ( \lambda ) = P_B ( \lambda )$ allora gli autovalori di A sono gli stessi di B. Inoltre sia $C$ la matrice diagonale relativa ad A, ottenuta tramite $C = N^(-1) A N$ e sia $D$ la matrice diagonalizzata di B ottenuta tramite $ D = M^(-1) B M$ allora $C, D$ hanno sulla diagonale gli stessi scalari, al più in ordine diverso.
Sia $c_{ii} = \lambda_i$ con $i = 1, . . . , n$ possiamo costruire una matrice di permutazione $P$ tale che $P^(-1) D P = C$ Allora si ha che; $P^(-1) M^(-1) B M P = N^(-1) A N$ Ma poiché N è invertibile si ha $N P^(-1) M^(-1) B M P N^(-1) = A$ Ovvero $(MPN^(-1) )^(-1) B (MPN^(-1)) = A$ allora $A, B$ sono simili.
Dovrebbe andare
SE $A, B$ diagonalizzabili $\Rightarrow A, B$ simili ALLORA $A, B$ stesso pol. car.
Comunque, siano $A, B$ diagonalizzabili e sia $P_A ( \lambda ) = P_B ( \lambda )$ allora gli autovalori di A sono gli stessi di B. Inoltre sia $C$ la matrice diagonale relativa ad A, ottenuta tramite $C = N^(-1) A N$ e sia $D$ la matrice diagonalizzata di B ottenuta tramite $ D = M^(-1) B M$ allora $C, D$ hanno sulla diagonale gli stessi scalari, al più in ordine diverso.
Sia $c_{ii} = \lambda_i$ con $i = 1, . . . , n$ possiamo costruire una matrice di permutazione $P$ tale che $P^(-1) D P = C$ Allora si ha che; $P^(-1) M^(-1) B M P = N^(-1) A N$ Ma poiché N è invertibile si ha $N P^(-1) M^(-1) B M P N^(-1) = A$ Ovvero $(MPN^(-1) )^(-1) B (MPN^(-1)) = A$ allora $A, B$ sono simili.
Dovrebbe andare
Ok, innanzitutto ti ringrazio, ma secondo te si potrebbe fare senza matrice di permutazione? Non ce ne ha mai parlato la prof, quindi non mi avventurerei in argomenti che magari potrebbero portarmi a ricevere domande strane all'orale 
Non lo so di preciso, sono piuttosto pischello ancora ( primo anno di matematica 
) e con gli strumenti che ho ora ti direi di no. Al limite se non vuoi tirare fuori il fatto della matrice di permutazione puoi spiegarla così:
Sai che puoi diagonalizzare $A, B$ verso due matrici $C, D$ che hanno gli autovalori di A e, rispettivamente, di B sulla diagonale. Ovvero sono matrici che rappresentano gli operatori associati ad A e B rispetto a due basi di autovettori. Ora è lecito dire che $C, D$ rappresentano lo stesso operatore, però rispetto a due basi eventualmente permutate ( ordine dei vettori della base diverso ), perché gli autovalori appaiono in ordini eventualmente diversi nelle due matrici. Quindi sia:
$ \beta_1 = \{ v_1, . . . , v_n \} $ base di autovettori che ha come matrice associata C
$ \beta_2 = \{v_2, v_10, . . . , v_1 \} $ ( è giusto un esempio, nel senso prendi una qualsiasi permutazione ) base di autovettori che ha come matrice associata a D
Poiché C e D rappresentano lo stesso operatore in due basi diverse, per la formula del cambiamento di base di un'applicazione lineare $\exists P \in GL(n, K): C = P^(-1) D P$ detto questo procedi come sopra.
Osserva che $P$ altro non è che $M_{\beta_2}^(\beta_1) (id)$ matrice del cambiamento di base da $\beta_1$ a $beta_2$
) e con gli strumenti che ho ora ti direi di no. Al limite se non vuoi tirare fuori il fatto della matrice di permutazione puoi spiegarla così:Sai che puoi diagonalizzare $A, B$ verso due matrici $C, D$ che hanno gli autovalori di A e, rispettivamente, di B sulla diagonale. Ovvero sono matrici che rappresentano gli operatori associati ad A e B rispetto a due basi di autovettori. Ora è lecito dire che $C, D$ rappresentano lo stesso operatore, però rispetto a due basi eventualmente permutate ( ordine dei vettori della base diverso ), perché gli autovalori appaiono in ordini eventualmente diversi nelle due matrici. Quindi sia:
$ \beta_1 = \{ v_1, . . . , v_n \} $ base di autovettori che ha come matrice associata C
$ \beta_2 = \{v_2, v_10, . . . , v_1 \} $ ( è giusto un esempio, nel senso prendi una qualsiasi permutazione ) base di autovettori che ha come matrice associata a D
Poiché C e D rappresentano lo stesso operatore in due basi diverse, per la formula del cambiamento di base di un'applicazione lineare $\exists P \in GL(n, K): C = P^(-1) D P$ detto questo procedi come sopra.
Osserva che $P$ altro non è che $M_{\beta_2}^(\beta_1) (id)$ matrice del cambiamento di base da $\beta_1$ a $beta_2$
Ti ringrazio !!
Ma se io dico che le matrici hanno sulla diagonale gli stessi scalari , al massimo in ordine diverso, questo vuol dire che sono associate a basi che hanno gli stessi elementi, ma messi in diverso ordine; mettendo nello stesso ordine gli elementi delle basi, avremo che le matrici $C,D$ associate rispettivamente ad $A,B$ sono uguali, quindi $A,B$ simili alla stessa matrice diagonale, perciò simili tra loro.
(ma dentro di me sento che sto barando)
Ma se io dico che le matrici hanno sulla diagonale gli stessi scalari , al massimo in ordine diverso, questo vuol dire che sono associate a basi che hanno gli stessi elementi, ma messi in diverso ordine; mettendo nello stesso ordine gli elementi delle basi, avremo che le matrici $C,D$ associate rispettivamente ad $A,B$ sono uguali, quindi $A,B$ simili alla stessa matrice diagonale, perciò simili tra loro.
(ma dentro di me sento che sto barando)
E' proprio quello che fa una matrice di permutazione, essa scambia l'ordine degli elementi di una basa, detta in modo molto terra terra. L'importante è che dici in qualche modo che $\exists P \in GL(n, K): C = P^(-1) DP$ poi hai finito
Ok.. grazie mille sei stato davvero gentilissimo e anche molto chiaro!
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