Matrici Diagonalizzabili!

[Isonz]

Salve a tutti!
Sono assolutamente disperato e vengo in cerca di aiuto!
Tra poco ho un esame di matematica del discreto, e sono ormai giorni che sbatto la testa su degli argomenti che mi risultano complicatissimi nonostante ho letto e riletto fior di dispense, e siti internet per capire...ma niente alcune cose mi restano ancora oscure...
In particolare ho un grave problema sulle matrici, e ancor più in particolare sugli esercizi che chiedono di calcolare se una matrice è diagonalizzabile omeno...
Cioè il mio problema è questo:

Prendiamo ad esempio la matrice di ordine n=3

$((7,0,0),(1,9,0),(-1,16,7))$

Innanzitutto devo calcolare le soluzioni del polinomio caratteristico che è dato da det(A-hI)=0 per calcolare gli autovalori, il determinante e la molteplicità algebrica, giusto?
Infatti mi verrà:

$((7-h,0,0),(1,9-h,0),(-1,16,7-h))$

Perciò avrò che il determinante sarà (7-h)^2(9-h)=0
Dunque la molteplicità algebrica di 9 sarà 1 e di 7 sarà 2 (per gli esponenti, corretto no?)
Infine gli autovalori saranno appunto 7 e 9.

Ora arriviamo al punto da cui non riesco a venire fuori in nessun modo! Forse perchè sul materiale che ho è spiegato male o forse sono io che non ci arrivo quindi se potreste aiutarmi a capire ve ne sarei grato! In pratica adesso devo stabilire se la matrice è diagonalizzabile o meno.
Io ho studiato pari pari dalle dispense che una matrice è diagonalizzabile solo se è vera almeno una delle due condizioni seguenti:
-La somma delle molteplicità algebriche degli autovalori di A è uguale all'ordine di A
-Gli autovalori di A sono tutti regolari, ossia ma(h)=mg(h)
Ecco da qui in poi sono un pò in cofusione...in tutti gli esercizi il professore utilizza la formula:

mg=n-rK(A-AI)

Allora, io non ho ben capito a cosa serve questa formula. Cioè dovrebbe servire a calcolare la molteplicità geometrica, ma perchè va calcolata visto che non rientra nelle due condizioni per la diagonalizzabilità? Inoltre r e k per cosa stanno di preciso? Ho letto che r è la m. algebrica e k quella geometrica ma dubito sia così perchè altrimenti non avrebbe senso trovare mg!
Inoltre, proseguendo nell'esercizio il professore risolve così

m_a(9)=1 m_g(9)= 3-rk $((7-9,0,0),(1,9-9,0),(-1,16,7-9))$ rk $((-2,0,0),(1,0,0),(-1,16,-2))$ = 2 m_g(9)=3-2=1

m_a(7)=2 m_g(7)= 3-rk $((7-7,0,0),(1,9-7,0),(-1,16,7-7))$ rk $((0,0,0),(1,2,0),(-1,16,0))$ = 2 m_g(7)=3-2=1

(in pratica credo sostituisca prima l'autovalore 9 e poi 7 dentro le matrici)
Ma mi sfugge costantemente una cosa fondamentale: da dove esce quel maledetto 2 finale?
Ho provato tutti i metodi convenzionali per risolvere una matrice ma niente mi esce sempre 0.
Non riesco a capire, sulle dispense non è spiegato io non mi capacito più.
E comunque in generale mi sfugge il senso di questo passaggio...vi prego potreste aiutarmi e spiegarmi bene la questione?
Sono pronto a capire, e provare all'infinito...

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Ti faccio sinceri complimenti: per essere il tuo primo intervento nel forum è davvero ottimo, a parte qualcosa sulle formule che imparerai in fretta (a proposito, benvenuto). L'unica cosa che potevi fare meglio è scegliere la sezione di algebra lineare sposto.[/mod]

[Isonz]

Grazie mille
Comunque avevo letto che in questa sezione c'era matematica discreta e allora l'ho messo qui!

[orazioster]

"rk" sta per "rango", cioè in Inglese "rank".


Per cui:
molteplicità geometrica= ordine della matrice $A$ -rango di $(A-\lambdaI)$

E sì, perchè, il rango della matrice $(A-\lambdaI)$ (che è certamente minore di $n$:-abbiamo trovato l'autovalore proprio ponendo det.=0)
che è la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo,
ti dice quante colonne "ti restano" nel sistema, mentre le altre variabili le hai poste come parametri.
La dimensione dello spazio delle soluzioni è $n-rk$, e questa dimensione è la molteplicità geometrica dell'autovalore.