Matrici diagonalizzabili

[6x6Casadei]

Buonasera ragazzi!
Ho riscontrato un dubbio nello svolgere un esercizio. Trovare autovali e autovettori di A.A è diagonalizzabile? In caso affermativo trovare tutte le matrici diagonali simili ad A.Si determini inoltre una matrice diagonale D che non sia simile ad A

...........3......2.....-1
A=......0......2......0 rango 3
..........-1......-2.....3

Ho trovato gli autovalori che sarebbero s=2 e s=4
Ho trovato gli autovettori relativi a s=2 t[1,2,5] e a s=4 t[1,0,-1]

ora non so piu come andare avanti...per meglio dire non so come trovare il terzo autovettore senno la matrice sarebbe incompleta con solo questi 2

..........1.......1
P=......2......0
..........5.......-1

[minomic]

Ciao,
l'autovalore $s=2$ ha molteplicità algebrica pari a $2$...
Scrivo la matrice $A-2I$:
\[
\begin{bmatrix}
1&2&-1\\0&0&0\\-1&-2&1
\end{bmatrix}
\] Il rango di questa matrice è $1$, quindi il suo nucleo avrà dimensione $3-1=2$. Cioè puoi ricavare due autovettori! Per questo si diceva che la molteplicità algebrica deve essere uguale a quella geometrica: così hai un numero di autovettori sufficiente per costruire la matrice $P$.

[6x6Casadei]

Io ho fatto con sI-A

........s-3......-2.......1
.......0........s-2.......0
........1.........2.......s-3

Con s=2 mi viene sempre una matrice di rango 1

......-1......-2......1
......0........0......0
......1.......2......-1

non riesco proprio a capire quando bisogna usare la formula A-sI e quando bisogna usare quella sl-A.

Comunque prendo due vettori del nucleo, per esempio [1,2,5] e [2,3,8] poi procedo tranquillamente!

[minomic]

Prendere $A-sI$ oppure $sI-A$ è la stessa cosa: i nuclei delle due matrici sono uguali. Tra l'altro mi sono accorto che prima avevo sbagliato a copiare la matrice, che ora ho corretto. Quella che trovi tu è ovviamente l'opposta (elemento per elemento) della mia. E va benissimo così.

Per quanto riguarda i vettori del nucleo... perché non prenderli più semplici? Ad esempio
\[
\begin{bmatrix}
1\\0\\1
\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}
-2\\1\\0
\end{bmatrix}
\] Diciamo che prendere vettori "facili" (numeri piccoli e parecchi zeri) aiuta notevolemente. Infatti quando hai la matrice $P$ devi calcolare anche la sua inversa...

[6x6Casadei]

Grazie mille, ora mi è tutto più chiaro...alla fine la sono riuscita a trovare la matrice

....2....0....0
....0....4....0
....0....0....2

Quindi tutte le matrici diagonali simili ad A saranno

....a.....0.....0
....0....2a....0
....0.....0.....a

E una matrice diagonale non simile ad A può essere

....7....0.....0
....0....3.....0
....0....0.....4

[minomic]

"6x6Casadei":Grazie mille, ora mi è tutto più chiaro...alla fine la sono riuscita a trovare la matrice

....2....0....0
....0....4....0
....0....0....2

Quindi tutte le matrici diagonali simili ad A saranno

....a.....0.....0
....0....2a....0
....0.....0.....a

Non vorrei dire una stupidata, ma secondo me questo non è corretto. Infatti le matrici diagonali simili alla matrice di partenza sono quelle che hanno sulla diagonale gli autovalori, cioè $2, 2, 4$. Quando dice tutte le matrici simili si riferisce al fatto che puoi cambiare l'ordine degli elementi sulla diagonale. Questi cambi di ordine dipendono dall'ordine con cui affianchiamo gli autovettori per trovare la matrice $P$.

Per quanto riguarda una matrice diagonale non simile, dovrebbe andare bene qualunque matrice che non abbia $2, 2, 4$ sulla diagonale. Quindi anche la matrice identità...

EDIT - Riflettendoci meglio, direi che è proprio come ho detto. Infatti due matrici simili hanno lo stesso determinante, quindi gli elementi sulla diagonale non possono essere espressi in funzione di un parametro come facevi tu. Altrimenti cambierebbe anche il determinante!

[6x6Casadei]

Ora ho capito

Se mettevo gli autovettori in posizione diversa venivando sempre 2,2,4 sulla diagonale, ma in posti diversi. Non mi ricprdavo neanche del fatto che due matrici simili sono quelle che hanno lo stesso determinante!

Grazie dell'aiuto!!!

[minomic]

Prego! Per altri dubbi siamo sempre qui.