Matrici diagonali e matrici simmetriche non diagonali
Nel mentre che svolgevo degli esercizi di geometria, mi è venuta in mente questa domanda:
noi sappiamo che ogni matrice $AinM_n(RR)$ simmetrica è ortogonalmente simile a una matrice diagonale, ma si può dire che nel campo $RR$ ogni matrice diagonale è ortogonalmente simile almeno a una simmetrica non diagonale? Sicuramente il polinomio caratteristico gioca un ruolo importante dato che per il teorema spettrale la matrice simmetrica è ortogonalmente simile a una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori. Facendo un esempio con le matrici simmetriche $2xx2$ del tipo $((a,b),(b,c))$ con $b!=0$. Il polinomio caratteristico di questa matrice è $x^2-(a+c)+ac-b^2$. Dalle proprietà delle equazioni di secondo grado abbiamo che (chiamate $x_1$ e $x_2$ le soluzioni) $x_1+x_2=a+c$ e $x_1+x_2=ac-b^2$ da cui:
$c=x_1+x_2-a$
$b=sqrt(ax_1+ax_2-a^2-x_1x_2)$
In particolare quindi se prendo $x_1=x_2=1$ ottengo:
$c=2-a$
$b=sqrt(2a-a^2-1)=sqrt(-(a-1)^2)$, da cui $b$ esiste solo se $a=1$ ma in questo caso otterremmo $b=0$ che non è contemplato nei casi che stiamo analizzando. Quindi non esistono $a,b,cinRR$ tale che il polinomio caratteristico di $((a,b),(b,c))$ sia $(x-1)^2$ da cui non esiste nessuna matrice simmetrica non diagonale $2xx2$ che sia simile ad $((1,0),(0,1))$. Secondo voi questo si potrebbe estendere al fatto che se una matrice diagonale $nxxn$ ha almeno un autovalore con molteplicità algebrica maggiore di $1$ (oppure tipo se ha un solo autovalore con molteplicità algebrica $n$) allora non è simile a nessuna matrice simmetrica non diagonale $nxxn$?
noi sappiamo che ogni matrice $AinM_n(RR)$ simmetrica è ortogonalmente simile a una matrice diagonale, ma si può dire che nel campo $RR$ ogni matrice diagonale è ortogonalmente simile almeno a una simmetrica non diagonale? Sicuramente il polinomio caratteristico gioca un ruolo importante dato che per il teorema spettrale la matrice simmetrica è ortogonalmente simile a una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori. Facendo un esempio con le matrici simmetriche $2xx2$ del tipo $((a,b),(b,c))$ con $b!=0$. Il polinomio caratteristico di questa matrice è $x^2-(a+c)+ac-b^2$. Dalle proprietà delle equazioni di secondo grado abbiamo che (chiamate $x_1$ e $x_2$ le soluzioni) $x_1+x_2=a+c$ e $x_1+x_2=ac-b^2$ da cui:
$c=x_1+x_2-a$
$b=sqrt(ax_1+ax_2-a^2-x_1x_2)$
In particolare quindi se prendo $x_1=x_2=1$ ottengo:
$c=2-a$
$b=sqrt(2a-a^2-1)=sqrt(-(a-1)^2)$, da cui $b$ esiste solo se $a=1$ ma in questo caso otterremmo $b=0$ che non è contemplato nei casi che stiamo analizzando. Quindi non esistono $a,b,cinRR$ tale che il polinomio caratteristico di $((a,b),(b,c))$ sia $(x-1)^2$ da cui non esiste nessuna matrice simmetrica non diagonale $2xx2$ che sia simile ad $((1,0),(0,1))$. Secondo voi questo si potrebbe estendere al fatto che se una matrice diagonale $nxxn$ ha almeno un autovalore con molteplicità algebrica maggiore di $1$ (oppure tipo se ha un solo autovalore con molteplicità algebrica $n$) allora non è simile a nessuna matrice simmetrica non diagonale $nxxn$?
Risposte
"andreadel1988":L'unico caso in cui non lo è è quello in cui gli autovalori sono tutti uguali, nel qual caso la matrice è del tipo $lambda I$ (dove $I$ è la matrice identica) che è ovviamente simile solo a se stessa.
si può dire che nel campo $RR$ ogni matrice diagonale è ortogonalmente simile almeno a una simmetrica non diagonale?
Per dimostrarlo puoi fare il caso $2 xx 2$ ed osservare che ti puoi sempre ridurre a questo caso (ragionando per blocchi diagonali).
"Martino":
L'unico caso in cui non lo è è quello in cui gli autovalori sono tutti uguali.
E come fai a dire per certo che questo è l'unico caso?
In che senso? 
E' quello che trovi se fai il conto. Se ci sono due autovalori distinti $a$, $b$ allora restringendoti allo spazio generato dai rispettivi autovettori ti riduci a mostrare che $((a,0),(0,b))$ è ortogonalmente simile a una matrice simmetrica non diagonale, e questo è un facile esercizio. Per esempio puoi usare la base ortogonale $(1,1)$, $(1,-1)$.
E' quello che trovi se fai il conto. Se ci sono due autovalori distinti $a$, $b$ allora restringendoti allo spazio generato dai rispettivi autovettori ti riduci a mostrare che $((a,0),(0,b))$ è ortogonalmente simile a una matrice simmetrica non diagonale, e questo è un facile esercizio. Per esempio puoi usare la base ortogonale $(1,1)$, $(1,-1)$.
"Martino":
In che senso?
No ma il mio dubbio è un altro, il fatto che deve valere per ogni matrice diagonale che non sia multipla dell'identità e quindi qualunque siano gli autovalori e nel modo in cui sono combinati. C'è per esempio come fai a dire che esiste almeno una matrice simmetrica non diagonale simile ad $ ((7,0,0),(0,7,0),(0,0,13))$. Come fai a dire a priori che esiste una matrice simmetrica non diagonale il cui polinomio caratteristico è $(x-7)^2(x-13)$.
Facendo il cambio di base che ti ho detto sopra.
$((1,0,0),(0,1,1),(0,1,-1))^(-1) ((7,0,0),(0,7,0),(0,0,13)) ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,-1)) = ((7,0,0),(0,10,-3),(0,-3,10))$.
Fai un cambio di base usando una base ortogonale in cui tutti i vettori sono quelli della base canonica tranne due, corrispondenti a due (qualsiasi) autovalori distinti.
$((1,0,0),(0,1,1),(0,1,-1))^(-1) ((7,0,0),(0,7,0),(0,0,13)) ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,-1)) = ((7,0,0),(0,10,-3),(0,-3,10))$.
Fai un cambio di base usando una base ortogonale in cui tutti i vettori sono quelli della base canonica tranne due, corrispondenti a due (qualsiasi) autovalori distinti.
In generale per il teorema spettrale abbiamo che:
$A=QLambdaQ^(-1)$
Se applichiamo un cambio di base ortonormale O (=rotazione), abbiamo, $OAO^(-1)=B=OQLambdaQ^(-1)O^(-1)$
Poiché $OQ$ è ancora ortonormale e $Q^(-1)O^(-1)=(OQ)^T$ segue che la matrice B è ancora simmetrica e simile alla matrice A.
Se $Lambda=I$ segue che $A=B=I$
$A=QLambdaQ^(-1)$
Se applichiamo un cambio di base ortonormale O (=rotazione), abbiamo, $OAO^(-1)=B=OQLambdaQ^(-1)O^(-1)$
Poiché $OQ$ è ancora ortonormale e $Q^(-1)O^(-1)=(OQ)^T$ segue che la matrice B è ancora simmetrica e simile alla matrice A.
Se $Lambda=I$ segue che $A=B=I$
"Martino":
Fai un cambio di base usando una base ortogonale in cui tutti i vettori sono quelli della base canonica tranne due, corrispondenti a due (qualsiasi) autovalori distinti.
Quindi tipo nel caso $ ((7,0,0,0),(0,13,0,0),(0,0,7,0),(0,0,0,13))$ è simile alla matrice simmetrica non diagonale $ ((10,-3,0,0),(-3,10,0,0),(0,0,10,-3),(0,0,-3,10))$. Affinché sia ortogonalmente simile dobbiamo prendere i vettori $(1/sqrt(2),1/sqrt(2)) (1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$ al posto di $(1,1) (1,-1)$.
Sì esatto, se lavori su un blocchetto $2 xx 2$ e lo fai diventare non diagonale hai finito.
"Martino":
Sì esatto, se lavori su un blocchetto $2 xx 2$ e lo fai diventare non diagonale hai finito.
Effettivamente questo avviene solo nei blocchi $2 xx 2$ dove ci sono due autovalori diversi perché sennò è un multiplo dell'identità e quindi non si può fare niente. Quindi basta calcolare la matrice simmetrica non diagonale $2 xx 2$ attraverso una base ortonormale come $ (1/sqrt(2),1/sqrt(2)) (1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) $ ed ho fatto.
Quindi si può affermare che ogni $AinM_n(RR)$ diagonalizzabile, diversa da un multiplo dell'identità, è simile a una matrice simmetrica non diagonale.
Sì, certo.
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