Matrici di proiezione ortogonale

[Angus1956]

Sono dati i tre vettori non nulli e linearmente indipendenti $x_1,x_2,x_3inRR^n$. Determina la matrice di proiezione ortogonale nello spazio ortogonale a $span{x_1,x_2,x_3}$.
Usando Gram-Schmidt ho trovato:
$\hat q_1=a_1$ da cui $q_1=\hat q_1/||q_1||$
$\hat q_2=a_2-q_1q_1^Ta_2$ da cui $q_2=\hat q_2/||q_2||$
$\hat q_3=a_3-q_1q_1^Ta_3-q_2q_2^Ta_3$ da cui $q_3=\hat q_3/||q_3||$
Sia $U$ la matrice che ha per colonne $[q_1,q_2,q_3]$, allora $\Pi=UU^T$ è la matrice di proiezione ortogonale nello spazio $span{x_1,x_2,x_3}$. Per cui $P=I-\Pi$ è la matrice di proiezione ortogonale nello spazio ortogonale a $span{x_1,x_2,x_3}$. Può andare bene?

[Bokonon]

Immagino che $a_i=x_i$
Per il resto, va benone.
Probabilmente andava bene anche $Pi=X(X^TX)^(-1)X^T$ dove le colonne di X sono i tre vettori.

[Angus1956]

"Bokonon":Immagino che $a_i=x_i$

Si scusami mi sono impasticciato con la notazione

"Bokonon":Probabilmente andava bene anche $Pi=X(X^TX)^(-1)X^T$ dove le colonne di X sono i tre vettori.

Si avevo pensato anche questo però il punto precedente mi richiedeva necessariamente di trovare una base ortogonale di $span{x_1,x_2,x_3}$ e quindi ho deciso di continuare a sfruttare questa strada

[Bokonon]

Ok.
Sapresti trovare P con un cambio base (se hai già fatto autovalori e autovettori)?
Che tipo di matrice è P e quanto vale det(P)?

[Angus1956]

"Bokonon":Ok.
Sapresti trovare P con un cambio base (se hai già fatto autovalori e autovettori)?
Che tipo di matrice è P e quanto vale det(P)?

Per il cambio di base basta prendere i vettori sulle colonne di $X$ e una base di vettori nel sottospazio ortogonale e si ottiene una matrice diagonale con $0$ o $1$. Cmq per risponderti alle altre due domande la prima è che $P$ è una matrice di proiezione ortogonale e secondo $det(P)=0$.

[Bokonon]

Ottimo!
Però intendevo sapere che tipo di matrice è una matrice di proiezione ortogonale e perché!