Matrici di passaggio
Salve!
Sono bloccato su questo passaggio di un problema:
Scrivere la matrice P di passaggio dalla base $F (\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)$ alla base canonica di $RR^3$ con $\vec v_1 = (2/3,-1/3,2/3); \vec v_2 = (-sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2); \vec v_3 = (-sqrt(2)/6,-(2sqrt(2))/3,-sqrt(2)/6).
Ecco, ora io sinceramente non saprei assolutamente come andare avanti, perché non riesco a comprendere un metodo universale per fabbricare matrici di passaggio né in questo caso né da una generica matrice A a una B. E le spiegazioni dei libri non le comprendo, purtroppo.
Sono bloccato su questo passaggio di un problema:
Scrivere la matrice P di passaggio dalla base $F (\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)$ alla base canonica di $RR^3$ con $\vec v_1 = (2/3,-1/3,2/3); \vec v_2 = (-sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2); \vec v_3 = (-sqrt(2)/6,-(2sqrt(2))/3,-sqrt(2)/6).
Ecco, ora io sinceramente non saprei assolutamente come andare avanti, perché non riesco a comprendere un metodo universale per fabbricare matrici di passaggio né in questo caso né da una generica matrice A a una B. E le spiegazioni dei libri non le comprendo, purtroppo.
Risposte
Ti dico un modo pratico per farlo
Allora, i vettori colonna della matrice di cambiamento di base non sono altro che le coordinate della vecchia base rispetto alla nuova base
Se non ti è chiaro ti faccio qualche esempio, ma se fai qualche tentativo ti rendi conto di come funziona
Allora, i vettori colonna della matrice di cambiamento di base non sono altro che le coordinate della vecchia base rispetto alla nuova base
Se non ti è chiaro ti faccio qualche esempio, ma se fai qualche tentativo ti rendi conto di come funziona
ecco, questa è la definizione che trovo in un qualsiasi libro e non la capisco mai a fondo, e non c'è mai nessunissimo esempio, con numeri semplici!
Devi risolvere dei sistemi lineari. Ti faccio un esempio scemo scemo: sia $V$ lo spazio vettoriale $RR^2$. Indico con $e_1=(1, 1)$ e con $e_2=(0, 1)$. Questa è chiaramente una base, che indichiamo con $B$. Adesso prendiamo un'altra base $B'$, costituita dai vettori $e_1'=(0, 1), e_2'=(1, 1)$. Qual è la matrice $M$ di passaggio da $B'$ in $B$?
Ricordiamo che questa matrice deve "accettare in input" le coordinate dei vettori di $V$ rispetto alla base $B'$ e "restituire in output" le coordinate degli stessi rispetto alla base $B$. Quindi intanto deve essere una matrice $2times2$, diciamo $M=[[m_{1,1}, m_{1, 2}],[m_{2,1}, m_{2,2}]]$. Possiamo determinare le entrate $m_{i, j}$ "dando in pasto" ad $M$ i vettori $e_1', e_2'$, che in coordinate rispetto a $B'$ sono $(1, 0), (0,1)$ rispettivamente.
Infatti $M*[[1], [0]]=[[m_{1,1}],[m_{2, 1}]]$, e per quanto detto sopra $[[m_{1,1}],[m_{2, 1}]]$ deve essere il vettore delle coordinate di $e_1'$ rispetto alla base $B$. Determiniamolo imponendo questa condizione:
$e_1'=m_{1, 1}e_1+m_{2,1}e_2$ ovvero, esplicitamente, ${(0=m_{1,1}*1+m_{2,1}*0), (1=m_{1, 1}*1+m_{2,1}*1):}$.
Risolvendo otteniamo $m_{1, 1}=0, m_{2,1}=1$.
Analogamente puoi calcolare l'altra colonna, che ti anticipo essere $m_{1, 2}=1, m_{2, 2}=0$. Spero di essere stato chiaro.
Ricordiamo che questa matrice deve "accettare in input" le coordinate dei vettori di $V$ rispetto alla base $B'$ e "restituire in output" le coordinate degli stessi rispetto alla base $B$. Quindi intanto deve essere una matrice $2times2$, diciamo $M=[[m_{1,1}, m_{1, 2}],[m_{2,1}, m_{2,2}]]$. Possiamo determinare le entrate $m_{i, j}$ "dando in pasto" ad $M$ i vettori $e_1', e_2'$, che in coordinate rispetto a $B'$ sono $(1, 0), (0,1)$ rispettivamente.
Infatti $M*[[1], [0]]=[[m_{1,1}],[m_{2, 1}]]$, e per quanto detto sopra $[[m_{1,1}],[m_{2, 1}]]$ deve essere il vettore delle coordinate di $e_1'$ rispetto alla base $B$. Determiniamolo imponendo questa condizione:
$e_1'=m_{1, 1}e_1+m_{2,1}e_2$ ovvero, esplicitamente, ${(0=m_{1,1}*1+m_{2,1}*0), (1=m_{1, 1}*1+m_{2,1}*1):}$.
Risolvendo otteniamo $m_{1, 1}=0, m_{2,1}=1$.
Analogamente puoi calcolare l'altra colonna, che ti anticipo essere $m_{1, 2}=1, m_{2, 2}=0$. Spero di essere stato chiaro.
Faccio il più banale degli esempi
Prendi $R^3$
Considera la base canonica
$B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
Se vuoi la matrice di cambimento di base in $B'$
$B={(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0)}$
(ho semplicemente permutato un pò gli elementi)
Allora prendiamo il primo vettore della vecchia base $(1,0,0)$
questo non è altri che il terzo vettore della nuova base quindi le sue coordinate rispetto alla nuova base sono
$(0,0,1)$ (ovvero il terzo vettore della nuova base)
Quindi hai la prima colonna del bambiamento di base
Fai lo stesso discorso per tutti i vettori e ottieni
$((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0))$
Che è la tua matrice di cambiamento di base
Prendi $R^3$
Considera la base canonica
$B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$
Se vuoi la matrice di cambimento di base in $B'$
$B={(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0)}$
(ho semplicemente permutato un pò gli elementi)
Allora prendiamo il primo vettore della vecchia base $(1,0,0)$
questo non è altri che il terzo vettore della nuova base quindi le sue coordinate rispetto alla nuova base sono
$(0,0,1)$ (ovvero il terzo vettore della nuova base)
Quindi hai la prima colonna del bambiamento di base
Fai lo stesso discorso per tutti i vettori e ottieni
$((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0))$
Che è la tua matrice di cambiamento di base
Sì, ok, ma il punto è che io non so come determinare le nuove coordinate in funzione della vecchia base!
Eh ma te l'ho scritto, per la precisione in questo stralcio:
Si tratta sempre di risolvere un sistema di equazioni lineari.
"dissonance":
...
Infatti $M*[[1], [0]]=[[m_{1,1}],[m_{2, 1}]]$, e per quanto detto sopra $[[m_{1,1}],[m_{2, 1}]]$ deve essere il vettore delle coordinate di $e_1'$ rispetto alla base $B$. Determiniamolo imponendo questa condizione:
$e_1'=m_{1, 1}e_1+m_{2,1}e_2$ ovvero, esplicitamente, ${(0=m_{1,1}*1+m_{2,1}*0), (1=m_{1, 1}*1+m_{2,1}*1):}$.
...
Si tratta sempre di risolvere un sistema di equazioni lineari.
Intendevo in questo passaggio: "dando in pasto" ad $M$ i vettori $e_1', e_2'$, che in coordinate rispetto a $B'$ sono $(1, 0), (0,1)$ rispettivamente.
Provo a spiegarmi passo-passo, vediamo se ci riesco.
Se un vettore $v\inV$ si può scrivere come $v=lambdae_1'+mue_2'$, allora $lambda$ e $mu$ sono univocamente individuati e la coppia $(lambda, mu)$ (spesso messa in colonna per compatibilità col prodotto di matrici) viene detta di coordinate di $v$ rispetto a $B'$ (*). Visto che possiamo scrivere $e_1'=1*e_1'+0*e_2', e_2'=0*e_1'+1*e_2'$, segue che le coordinate di $e_1'. e_2'$ rispetto a $B'$ sono $(1, 0), (0, 1)$. Ci siamo, fin qui?
(*) Questo linguaggio non è universale. Magari l'autore che stai leggendo usa dei termini diversi.
Se un vettore $v\inV$ si può scrivere come $v=lambdae_1'+mue_2'$, allora $lambda$ e $mu$ sono univocamente individuati e la coppia $(lambda, mu)$ (spesso messa in colonna per compatibilità col prodotto di matrici) viene detta di coordinate di $v$ rispetto a $B'$ (*). Visto che possiamo scrivere $e_1'=1*e_1'+0*e_2', e_2'=0*e_1'+1*e_2'$, segue che le coordinate di $e_1'. e_2'$ rispetto a $B'$ sono $(1, 0), (0, 1)$. Ci siamo, fin qui?
(*) Questo linguaggio non è universale. Magari l'autore che stai leggendo usa dei termini diversi.
Ok, ottimo, quindi devo trovare esclusivamente gli scalari che moltiplicati per i rispettivi vettori della base stessa generano quei vettori..
Esatto (però cerca di dirlo un po' meglio). Lo strumento "pratico" da usare è la risoluzione di opportuni sistemi di equazioni lineari. Se te ne ricordi fai come dice angus: le colonne della matrice di cambiamento di base sono le coordinate dei vettori della base di partenza rispetto alla base di arrivo.
Personalmente mi scordo sempre l'ordine corretto delle basi, quindi preferisco scrivere una matrice vergine (come la $M=[[m_{1, 1}, m_{1, 2}], [m_{2, 1}, m_{2, 2}]]$ di prima) e determinarne i coefficienti come sopra. Questione di gusti, spero di non averti confuso le idee.
Personalmente mi scordo sempre l'ordine corretto delle basi, quindi preferisco scrivere una matrice vergine (come la $M=[[m_{1, 1}, m_{1, 2}], [m_{2, 1}, m_{2, 2}]]$ di prima) e determinarne i coefficienti come sopra. Questione di gusti, spero di non averti confuso le idee.
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