Matrici condizioni

[GuidoFretti1]

Buonasera, mi sono appena iscritto a questo forum perché sto trovando difficoltà in questi esercizi,penso basilari, di algebra lineare:

Ho studiato le definizioni dei seguenti tipi di matrici,ma ora non riesco a capire come applicarle per risolvere questo esercizio di 4 punti

Sia $x in CC^n$, $y in CC^n$ e si consideri la matrice $nxn$ data da
$A=xy**$ dove $**$ indica il trasporto coniugato del vettore $y$
Dare condizioni affinché $A$
1) è Hermitiana
2) è semidefinita positiva
3) è semidefinita negativa
4) è normale

Il mio tentativo è stato cercare di applicare le definizioni al caso di $A$, ma data la generalità dei vettori non capisco come debba agire.

Grazie per l'attenzione

[GuidoFretti1]

Quindi è sufficiente scrivere la definizione di normalità e poi procedere con i puri conti... partendo da ciò:

[tex]x_j \cdot \overline{y_i} = \overline{x_i \cdot \overline{y_j}}[/tex] per ogni $i,j=1,...,n$.

Ho capito!

Infine la condizione di normalità da me imposta è anch'essa necessaria e sufficiente?
Grazie

[GuidoFretti1]

"Bokonon":[quote="GuidoFretti"]
In merito alle domande di Bokonon purtroppo non sono rispondere a tutte, ma so che la somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice; una matrice è semidefinitiva positiva se gli autovalori sono $>=0$ ($<=0$ per semidefinita negativa) e una matrice Hermitiana ha autovalori solo reali.

Ok.
Le prime tre domande però erano quelle essenziali.
Procediamo con ordine. Per risolvere un problema, è necessario porsi le domande giuste e solo successivamente valutare quali strumenti/teoremi siano i più adatti.
Quindi dato un esercizio, la prima cosa da fare è dirsi:"Voglio conoscere vita, morte e miracoli dell'oggetto in ipotesi".

Per costruzione (come ha spiegato bene Martino), la matrice è singolare ed ha sempre rango 1: pertanto il suo nucleo ha dimensione n-1 ed è l'autospazio associato all'autovalore zero. Vi sarà quindi un solo altro autospazio complementare di dimensione 1 associato ad un solo altro autovalore (se escludiamo la matrice nulla ovviamente). Ci sono 2 autovalori in totale.

Come hai giustamente scritto, sappiamo che la traccia della matrice equivale alla somma degli autovalori, pertanto se n-1 autovalori sono coincidenti e pari a zero, allora la traccia ci dice esattamente quanto vale il secondo autovalore che è un numero complesso.
Poichè ci viene chiesto per quali vettori x ed y la matrice è semidefinita positiva/negativa, la traccia deve essere un numero complesso la cui parte immaginaria è zero...ovvero un numero reale.
Nel caso in cui x=y sappiamo già che la matrice è hessiana e quindi sulla sua diagonale ci sono solo numeri reali e sono pure tutti positivi poichè i prodotti $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$. Pertanto, in questo caso la matrice avrà un autovalore 0 e un autovalore reale e positivo, pertanto è semidefinita positiva.

Ma questo è solo un caso particolare, mentre la domanda è più generale e riguarda anche le matrici non hermitiane quindi consideriamo gli elementi sulla diagonale della nostra matrice e notiamo che sono tutti del tipo $x_iy_i^*$ quindi se li sommiamo tutti abbiamo la traccia ovvero $sum_(i=1)^n x_iy_i^*$.
Ma questa sommatoria cos'è? E' il prodotto scalare in campo complesso fra due vettori generici.

Mettendo insieme il tutto, abbiamo che tutti i vettori x e y il cui prodotto scalare è reale soddisfano le due domande: se è positivo, allora la matrice è semidefinita positiva e viceversa.[/quote]

Grazie mille, su questo aspetto bo capito!