Matrici condizioni
Buonasera, mi sono appena iscritto a questo forum perché sto trovando difficoltà in questi esercizi,penso basilari, di algebra lineare:
Ho studiato le definizioni dei seguenti tipi di matrici,ma ora non riesco a capire come applicarle per risolvere questo esercizio di 4 punti
Sia $x in CC^n$, $y in CC^n$ e si consideri la matrice $nxn$ data da
$A=xy**$ dove $**$ indica il trasporto coniugato del vettore $y$
Dare condizioni affinché $A$
1) è Hermitiana
2) è semidefinita positiva
3) è semidefinita negativa
4) è normale
Il mio tentativo è stato cercare di applicare le definizioni al caso di $A$, ma data la generalità dei vettori non capisco come debba agire.
Grazie per l'attenzione
Ho studiato le definizioni dei seguenti tipi di matrici,ma ora non riesco a capire come applicarle per risolvere questo esercizio di 4 punti
Sia $x in CC^n$, $y in CC^n$ e si consideri la matrice $nxn$ data da
$A=xy**$ dove $**$ indica il trasporto coniugato del vettore $y$
Dare condizioni affinché $A$
1) è Hermitiana
2) è semidefinita positiva
3) è semidefinita negativa
4) è normale
Il mio tentativo è stato cercare di applicare le definizioni al caso di $A$, ma data la generalità dei vettori non capisco come debba agire.
Grazie per l'attenzione
Risposte
Prova a scrivere
$A^-1xy^(*)=0$
e ad applicare semplicemente le definizioni copiandole dal libro
$A^-1xy^(*)=0$
e ad applicare semplicemente le definizioni copiandole dal libro
Avendo $x$ e $y$ generici, come posso calcolare $A^(-1)=(xy**)^(-1)$ per poi applicare il consiglio
$^(-1)xy**=0$ ?
Trovare l'inversa di $A$ non mi pare per nulla banale
$^(-1)xy**=0$ ?
Trovare l'inversa di $A$ non mi pare per nulla banale
"GuidoFretti":
Avendo $x$ e $y$ generici, come posso calcolare $A^(-1)=(xy**)^(-1)$ per poi applicare il consiglio
$^(-1)xy**=0$ ?
Trovare l'inversa di $A$ non mi pare per nulla banale
Non devi trovare l'inverso di xy*.
Devi scrivere secondo me quello l'equazione che ho scritto nel post precedente, e scrivere il generico vettore (xy*).
Applicare le definizioni copiandole pari pari dal libro, e poi tenere conto del fatto che stai trattando l'inversa di A e non A.
@ronti: se ho capito bene la domanda, l'inversa di $A$ non c'entra niente.
Guido, quando scrivi [tex]A=xy \ast[/tex] intendi che $x$ è una riga e [tex]y \ast[/tex] una colonna, o viceversa?
Guido, quando scrivi [tex]A=xy \ast[/tex] intendi che $x$ è una riga e [tex]y \ast[/tex] una colonna, o viceversa?
"Martino":
@ronti: se ho capito bene la domanda, l'inversa di $A$ non c'entra niente.
Guido, quando scrivi [tex]A=xy \ast[/tex] intendi che $x$ è una riga e [tex]y \ast[/tex] una colonna, o viceversa?
Dato che in parecchi libri di testo le proprietà di una matrice $B$ sono trattate considerando un'equazione
$Btilde(x)=c$
proponevo semplicemente di porre il problema presentato in tale forma.
Nel caso presentato
$B=A^-1$
$tilde(x)= xy^*$
$c=0$
"Martino":
@ronti: se ho capito bene la domanda, l'inversa di $A$ non c'entra niente.
Guido, quando scrivi [tex]A=xy \ast[/tex] intendi che $x$ è una riga e [tex]y \ast[/tex] una colonna, o viceversa?
Non è scritto, ma penso per il prodotto righe e colonne che $x$ sia un vettore $n x 1$ e $y$ sia $1 x n$ cosicché il prodotto dà una matrice $n x n$
"GuidoFretti":
Non è scritto, ma penso per il prodotto righe e colonne che $x$ sia un vettore $n x 1$ e $y$ sia $1 x n$ cosicché il prodotto dà una matrice $n x n$
In questo caso la matrice $A$ ha [tex]x_i \cdot \overline{y_j}[/tex] nell'entrata $(i,j)$. Sapendo questo, basta che applichi le definizioni che conosci per rispondere ai quattro punti.
"Martino":
[quote="GuidoFretti"]Non è scritto, ma penso per il prodotto righe e colonne che $x$ sia un vettore $n x 1$ e $y$ sia $1 x n$ cosicché il prodotto dà una matrice $n x n$
In questo caso la matrice $A$ ha [tex]x_i \cdot \overline{y_j}[/tex] nell'entrata $(i,j)$. Sapendo questo, basta che applichi le definizioni che conosci per rispondere ai quattro punti.[/quote]
Esattamente ottengo la medesima e per comodità ho posto $n=4$ (per visualizzare la situazione)
Quindi affinché $A$ sia Hermitiana pongo che $x=y$
Affinché sia semidefinita positiva e semidefinita negativa ho le seguenti definizioni:
$T$ è semidefinita positiva se per ogni $v in CC^n$ si ha $v** T v>=0$
($<=0$ per semidefinita negativa)
$T$ è normale se e solo se $T(T**)=(T**) T$
Ma non riesco a capire come applicare tali definizioni al caso generale
@Guidofretti
Che rango ha la matrice A?
Che dimensione ha il suo nucleo?
A quale autovalore è associato questo nucleo?
Che entrate deve avere sulla sua diagonale una matrice hermitiana, reali/complesse/entrambe?
La somma degli autovalori di una matrice a cosa equivale?
Quand'è che una matrice è semidefinita positiva/negativa in relazione ai suoi autovalori?
Che rango ha la matrice A?
Che dimensione ha il suo nucleo?
A quale autovalore è associato questo nucleo?
Che entrate deve avere sulla sua diagonale una matrice hermitiana, reali/complesse/entrambe?
La somma degli autovalori di una matrice a cosa equivale?
Quand'è che una matrice è semidefinita positiva/negativa in relazione ai suoi autovalori?
Aspettavo un consiglio dall'utente Martino per cercare di concludere il discorso.
In merito alle domande di Bokonon purtroppo non sono rispondere a tutte, ma so che la somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice; una matrice è semidefinitiva positiva se gli autovalori sono $>=0$ ($<=0$ per semidefinita negativa) e una matrice Hermitiana ha autovalori solo reali.
Sulle altre domande se mi può aiutare, sarebbe molto gentile!
In merito alle domande di Bokonon purtroppo non sono rispondere a tutte, ma so che la somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice; una matrice è semidefinitiva positiva se gli autovalori sono $>=0$ ($<=0$ per semidefinita negativa) e una matrice Hermitiana ha autovalori solo reali.
Sulle altre domande se mi può aiutare, sarebbe molto gentile!
"GuidoFretti":
Ma non riesco a capire come applicare tali definizioni al caso generale
Oltre alla definizione di Hermitiana / Semidefinita positiva / Semidefinita negativa ti conviene pensare a criteri, tipo il criterio di Sylvester, ricordando che la tua matrice, se non è nulla, ha rango 1, e quindi i suoi autovalori sono tutti nulli tranne al più uno (come ti suggeriva Bokonon).
Non ho capito perché la matrice se non nulla ha rango 1 e quindi $n-1$ autovalori sono $0$. Potreste aiutarmi?
Tuttavia supponendola vera ho capito che l'autovalore restante è dato da $(y**)x$ e quindi ponendolo $>=0$ si ha la matrice semidefinita positiva e ponendolo $<=0$ si ha la mat.semidefinita negativa
Infine per avere $xy**$ normale ho scritto la definizione di normalità
$(xy**)(xy**)^(**)=(xy**)^(**)(xy**)$
ottenendo che deve essere
$(x x**)/( ||x||_2)^2$ $= (y y**)/(||y||_2)^2$
Grazie
Tuttavia supponendola vera ho capito che l'autovalore restante è dato da $(y**)x$ e quindi ponendolo $>=0$ si ha la matrice semidefinita positiva e ponendolo $<=0$ si ha la mat.semidefinita negativa
Infine per avere $xy**$ normale ho scritto la definizione di normalità
$(xy**)(xy**)^(**)=(xy**)^(**)(xy**)$
ottenendo che deve essere
$(x x**)/( ||x||_2)^2$ $= (y y**)/(||y||_2)^2$
Grazie
"GuidoFretti":
Non ho capito perché la matrice se non nulla ha rango 1
Tu hai due vettori $v$ e $w$ della stessa dimensione, diciamo $n$, e la tua matrice ha $v_i w_j$ nell'entrata $(i,j)$. Quindi la riga $i$ è data da
$v_i w_1$, $v_i w_2$, ..., $v_i w_n$.
Come vedi tutte le righe sono multiple della riga $w_1$, ..., $w_n$.
Ok, grazie mille! Devo comprende bene questi aspetti poiché non mi è chiarissimo...ma dovrei aver compreso l'idea.
Sulle altre mie considerazioni invece ho correttamente svolto?
Sulle altre mie considerazioni invece ho correttamente svolto?
"GuidoFretti":
affinché $A$ sia Hermitiana pongo che $x=y$
Questo non va bene, prova a scrivere la condizione esatta che deve soddisfare $A$ per essere Hermitiana.
Perché non va bene?
Deve essere
$(xy**)=(xy**)**$
E mi pare che ponendo $x=y$ e per esempio scrivendo per $n=4$ si ottiene la tesi perché ogni elemento di riga di $(xy**)$ è del tipo $x_i(y_j)**$ con $j=1,2,3,4$ e ogni elemento di riga di
$(xy**)**$ è del tipo $y_i(x_j)**$ con $j=1,2,3,4$ e non vale la proprietà commutativa?
Grazie
Deve essere
$(xy**)=(xy**)**$
E mi pare che ponendo $x=y$ e per esempio scrivendo per $n=4$ si ottiene la tesi perché ogni elemento di riga di $(xy**)$ è del tipo $x_i(y_j)**$ con $j=1,2,3,4$ e ogni elemento di riga di
$(xy**)**$ è del tipo $y_i(x_j)**$ con $j=1,2,3,4$ e non vale la proprietà commutativa?
Grazie
Tu stai dicendo che se $x=y$ allora $A$ è Hermitiana. Questo è vero.
Quello che non è vero è che se $A$ è Hermitiana allora $x=y$.
In altre parole la condizione $x=y$ è solo sufficiente (non necessaria) perché $A$ sia Hermitiana.
Quello che non è vero è che se $A$ è Hermitiana allora $x=y$.
In altre parole la condizione $x=y$ è solo sufficiente (non necessaria) perché $A$ sia Hermitiana.
A ok, ho capito!
Ma il testo chiedeva solo di dare condizioni su $x$ e $y$ affinché $A$ sia Hermitiana, quindi ho imposto queste condizioni.
Tuttavia mi viene spontanea la curiosità: come posso trovare condizioni anche necessarie e come faccio a comprendere che lo sono?
Non sono per nulla sulla retta via con le matrici e vorrei comprenderle al massimo.
Grazie
P.S.: altre condizioni invece possono andare bene?
Ma il testo chiedeva solo di dare condizioni su $x$ e $y$ affinché $A$ sia Hermitiana, quindi ho imposto queste condizioni.
Tuttavia mi viene spontanea la curiosità: come posso trovare condizioni anche necessarie e come faccio a comprendere che lo sono?
Non sono per nulla sulla retta via con le matrici e vorrei comprenderle al massimo.
Grazie
P.S.: altre condizioni invece possono andare bene?
"GuidoFretti":
Tuttavia mi viene spontanea la curiosità: come posso trovare condizioni anche necessarie e come faccio a comprendere che lo sono?
Basta che scrivi la definizione di matrice Hermitiana nel tuo caso. Quello che deve succedere è che
[tex]x_j \cdot \overline{y_i} = \overline{x_i \cdot \overline{y_j}}[/tex] per ogni $i,j=1,...,n$.
Riformulando,
(*) [tex]x_j \cdot \overline{y_i} = \overline{x_i} \cdot y_j[/tex] per ogni $i,j=1,...,n$.
La condizione (*) è equivalente (cioè necessaria e sufficiente) al fatto che $A$ è Hermitiana.
"GuidoFretti":
In merito alle domande di Bokonon purtroppo non sono rispondere a tutte, ma so che la somma degli autovalori è uguale alla traccia della matrice; una matrice è semidefinitiva positiva se gli autovalori sono $>=0$ ($<=0$ per semidefinita negativa) e una matrice Hermitiana ha autovalori solo reali.
Ok.
Le prime tre domande però erano quelle essenziali.
Procediamo con ordine. Per risolvere un problema, è necessario porsi le domande giuste e solo successivamente valutare quali strumenti/teoremi siano i più adatti.
Quindi dato un esercizio, la prima cosa da fare è dirsi:"Voglio conoscere vita, morte e miracoli dell'oggetto in ipotesi".
Per costruzione (come ha spiegato bene Martino), la matrice è singolare ed ha sempre rango 1: pertanto il suo nucleo ha dimensione n-1 ed è l'autospazio associato all'autovalore zero. Vi sarà quindi un solo altro autospazio complementare di dimensione 1 associato ad un solo altro autovalore (se escludiamo la matrice nulla ovviamente). Ci sono 2 autovalori in totale.
Come hai giustamente scritto, sappiamo che la traccia della matrice equivale alla somma degli autovalori, pertanto se n-1 autovalori sono coincidenti e pari a zero, allora la traccia ci dice esattamente quanto vale il secondo autovalore che è un numero complesso.
Poichè ci viene chiesto per quali vettori x ed y la matrice è semidefinita positiva/negativa, la traccia deve essere un numero complesso la cui parte immaginaria è zero...ovvero un numero reale.
Nel caso in cui x=y sappiamo già che la matrice è hessiana e quindi sulla sua diagonale ci sono solo numeri reali e sono pure tutti positivi poichè i prodotti $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$. Pertanto, in questo caso la matrice avrà un autovalore 0 e un autovalore reale e positivo, pertanto è semidefinita positiva.
Ma questo è solo un caso particolare, mentre la domanda è più generale e riguarda anche le matrici non hermitiane quindi consideriamo gli elementi sulla diagonale della nostra matrice e notiamo che sono tutti del tipo $x_iy_i^*$ quindi se li sommiamo tutti abbiamo la traccia ovvero $sum_(i=1)^n x_iy_i^*$.
Ma questa sommatoria cos'è? E' il prodotto scalare in campo complesso fra due vettori generici.
Mettendo insieme il tutto, abbiamo che tutti i vettori x e y il cui prodotto scalare è reale soddisfano le due domande: se è positivo, allora la matrice è semidefinita positiva e viceversa.
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