Matrici coinvolte in un'equazione lineare matriciale

[Shaka11]

È dimostrato che:

[tex]\forall Q>0[/tex] [tex]\exists! P>0: A^TP+PA=-Q \Longleftrightarrow Re\{\lambda_i\}<0[/tex] [tex]\forall i=1...n[/tex]

con [tex]A[/tex], [tex]Q[/tex] e [tex]P[/tex]: matrici reali [tex]nxn[/tex]; [tex]\lambda_i[/tex]: autovalore di A;


Devo dimostrare che:

[tex]\forall Q>0[/tex] [tex]\exists! P>0: A^TP+PA+2cP=-Q \Longleftrightarrow Re\{\lambda_i\}<-c[/tex] [tex]\forall i=1...n[/tex]

con [tex]c[/tex]: scalare positivo;


Scrivendo [tex]A^TP+PA=-\overline{Q}[/tex] con [tex]\overline{Q}=(Q+2cP)[/tex],

riesco a dimostrare che [tex]Re\{\lambda_i\}<0[/tex] [tex]\forall i=1...n[/tex], poichè [tex]\overline{Q}>0[/tex].


Come legare gli autovalori di [tex]A[/tex] alla matrice [tex]\overline{Q}[/tex]?

[Shaka11]

In pratica, il primo teorema è un caso particolare (per c=0) del secondo.

[cirasa]

Prova ad applicare il teorema dimostrato, cioè questo

"Shaka":È dimostrato che:

[tex]\forall Q>0[/tex] [tex]\exists! P>0: A^TP+PA=-Q \Longleftrightarrow Re\{\lambda_i\}<0[/tex] [tex]\forall i=1...n[/tex]

con [tex]A[/tex], [tex]Q[/tex] e [tex]P[/tex]: matrici reali [tex]nxn[/tex]; [tex]\lambda_i[/tex]: autovalore di A;

Alla matrice [tex]A'=A+cI[/tex]. Non ho provato con calma a fare i conti, ma ne dovresti venir fuori.

[Shaka11]

Hai ragione, ottima soluzione!

[cirasa]

Bene. Lieto di esserti stato utile