Matrici, cambiamenti di base
Salve a tutti avrei dei dubbi su questo esercizio:
Data la matrice
A= $((1,1),(1,0))$
considera l'applicazione $T:M_(2,2)(R) rarr M_(2,2)(R)$ data da $T(X)=AX-XA$. Dimostrare che l'applicazione è lineare e calcolare $ker$ e $Im$ di $T$ e dimostra che $M_(2,2)(R)=KerT \oplus ImT$.
Allora la prima parte l'ho fatta così:
$T(X_1+X_2)=A(X_1+X_2)-(X_1+X_2)A=(AX_1-X_1A)+(AX_2-X_2A)=T(X_1)+T(X_2)$ per l'additività
$T(\lambdaX)=A(\lambdaX)-(\lambdaX)A=\lambda(AX_XA)=\lambdaT(X)$ per l'omogeneità
I miei problemi iniziano qui: premetto che io il capitolo sulle matrici del cambiamento di base non penso di averlo capito per niente.
In questo caso ho pensato di ricavarmi la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica di $M_(2,2)(R)$. Non ho idea di come farlo tuttavia. Come traduco $AX-XA$ in termini matriciali. Il $ker$ e l'$Im$ li saprei trovare facilmente ma senza la matrice non posso andare avanti. Qualcuno può spiegarmi come ricavare la matrice.
Mentre l'altro mio dubbio è: una volta trovati gli span dell'$Im$ e del $Ker$ per vedere se soddisfano la condizione richiesta mi basterebbe "unire" i due span e verificare che il rango della matrice ottenuta è uguale a $4$ giusto?
Ringrazio in anticipo chi risponderà
Data la matrice
A= $((1,1),(1,0))$
considera l'applicazione $T:M_(2,2)(R) rarr M_(2,2)(R)$ data da $T(X)=AX-XA$. Dimostrare che l'applicazione è lineare e calcolare $ker$ e $Im$ di $T$ e dimostra che $M_(2,2)(R)=KerT \oplus ImT$.
Allora la prima parte l'ho fatta così:
$T(X_1+X_2)=A(X_1+X_2)-(X_1+X_2)A=(AX_1-X_1A)+(AX_2-X_2A)=T(X_1)+T(X_2)$ per l'additività
$T(\lambdaX)=A(\lambdaX)-(\lambdaX)A=\lambda(AX_XA)=\lambdaT(X)$ per l'omogeneità
I miei problemi iniziano qui: premetto che io il capitolo sulle matrici del cambiamento di base non penso di averlo capito per niente.
In questo caso ho pensato di ricavarmi la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica di $M_(2,2)(R)$. Non ho idea di come farlo tuttavia. Come traduco $AX-XA$ in termini matriciali. Il $ker$ e l'$Im$ li saprei trovare facilmente ma senza la matrice non posso andare avanti. Qualcuno può spiegarmi come ricavare la matrice.
Mentre l'altro mio dubbio è: una volta trovati gli span dell'$Im$ e del $Ker$ per vedere se soddisfano la condizione richiesta mi basterebbe "unire" i due span e verificare che il rango della matrice ottenuta è uguale a $4$ giusto?
Ringrazio in anticipo chi risponderà
Risposte
"SteezyMenchi":
... il capitolo sulle matrici del cambiamento di base ...
Veramente, non si comprende il motivo per cui dovresti scomodarle. Piuttosto:
$AX-XA=$
$=((1,1),(1,0))((x_(11),x_(12)),(x_(21),x_(22)))-((x_(11),x_(12)),(x_(21),x_(22)))((1,1),(1,0))=$
$=((x_(11)+x_(21),x_(12)+x_(22)),(x_(11),x_(12)))-((x_(11)+x_(12),x_(11)),(x_(21)+x_(22),x_(21)))=$
$=((-x_(12)+x_(21),-x_(11)+x_(12)+x_(22)),(x_(11)-x_(21)-x_(22),x_(12)-x_(21)))$
In definitiva, si tratta di determinare il nucleo e l'immagine della trasformazione lineare sottostante:
$((x_(11),x_(12)),(x_(21),x_(22))) rarr ((-x_(12)+x_(21),-x_(11)+x_(12)+x_(22)),(x_(11)-x_(21)-x_(22),x_(12)-x_(21)))$
calcolando, prima di tutto, il rango della matrice (evidentemente 2) che rappresenta la trasformazione lineare rispetto alla base canonica:
$((0,-1,1,0),(-1,1,0,1),(1,0,-1,-1),(0,1,-1,0))$
Grazie mille Elias, una cosa sola ma per quale motivo sei passato da una rappresentazione del tipo
$((a,b),(c,d))$ ad una $((a,b,c,d))$ (in colonna non me le mette
). Cioè se uno invece della tua matrice avesse scritto questa
$( (0,-1,-1,1),(1,0,0,1),(1,0,0,1),(-1,-1,-1,0) )$
sarebbe cambiato qualcosa (facendo dei conti veloci) mi sembra che entrambe le matrici abbiano rango 2 però magari dopo le cose vanno diversamente. Nel dubbio farò come mi hai detto.
Ultima cosa: ma quella che si ottiene possiamo chiamarla matrice a blocchi (noi non le abbiamo mai studiate perché non presenti nel programma del corso è solo una mia curiosità)? E in caso di risposta affermativa, sarebbe cambiato qualcosa nella risoluzione dell'esercizio?
$((a,b),(c,d))$ ad una $((a,b,c,d))$ (in colonna non me le mette
). Cioè se uno invece della tua matrice avesse scritto questa$( (0,-1,-1,1),(1,0,0,1),(1,0,0,1),(-1,-1,-1,0) )$
sarebbe cambiato qualcosa (facendo dei conti veloci) mi sembra che entrambe le matrici abbiano rango 2 però magari dopo le cose vanno diversamente. Nel dubbio farò come mi hai detto.
Ultima cosa: ma quella che si ottiene possiamo chiamarla matrice a blocchi (noi non le abbiamo mai studiate perché non presenti nel programma del corso è solo una mia curiosità)? E in caso di risposta affermativa, sarebbe cambiato qualcosa nella risoluzione dell'esercizio?
"SteezyMenchi":
... per quale motivo ...
Perché le colonne della matrice che rappresenta la trasformazione lineare rispetto alla base canonica altro non sono che le componenti, rispetto alla base canonica, dei trasformati della base canonica. Solo per fare un esempio:
$((1,0),(0,0)) rarr ((0,-1),(1,0))=0*((1,0),(0,0))-1*((0,1),(0,0))+1*((0,0),(1,0))+0*
((0,0),(0,1))$
((0,0),(0,1))$
"SteezyMenchi":
... possiamo chiamarla matrice a blocchi ...
Non è una matrice a blocchi. Ad ogni modo, per risolvere l'esercizio non è necessario sapere cosa sia una matrice a blocchi. Non vorrei che tu stessi facendo un po' di confusione.
"SteezyMenchi":
... sarebbe cambiato qualcosa ...
Io, della tua matrice, non ho capito il senso. Ripeto, non vorrei che tu stessi facendo un po' di confusione. Voglio dire, se la matrice che rappresenta la trasformazione lineare deve essere impostata come scritto, c'è un motivo.
Ok quindi vedo come agisce l'applicazione sui vettori della base di partenza e poi esprimo i trasformati come combinazione lineare dei vettori della base d'arrivo (noi siamo nel caso base di partenza$=$base d'arrivo ovviamente). Per quanto riguarda il resto cancellerò dalla mia mente tutto ciò che ho scritto nella seconda parte del messaggio. Grazie mille @anonymous_0b37e9 sei davvero di grande aiuto.
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