Matrici associate e applicazioni lineari
Buonasera ragazzi. Non riesco proprio ad impostare i problemi riguardanti il capitolo su matrici associate e applicazioni lineari.
Ad esempio non capisco proprio come e COSA rappresentino alcune matrici proposte negli esercizi. (tra l'altro non so neanche da dove iniziare a mettere le mani)
Vi posto qualche traccia sperando in qualche generosa illuminazione..
Inserisco tra (parentesi) i miei commenti
"Calcolare le matrici associate ai seguenti endomorfismi di $R^2$ (cioè che da $R$ vanno in $R$ giusto?), sia rispetto alla base canonica, sia rispetto alla base formata dai vettori $(1,-1),(0,1/2)$:
a) $T(x,y) = (0,x+y)$ (cioè io prendo un vettore $(x,y)$ e me lo trasformo in uno $(0,x+y)$.. giusto?)
b) $T(x,y) = (x-y, y)$
c) $T(x,y) = (x+y, x-y)$
d) Una rotazione intorno all'origine di $\pi/4$ (non ho la benchè minima idea di cosa voglia
)
e) Le simmetrie rispetto agli assi cartesiani ($T(x,y) = (x, -y)$ ??)
f) La simmetria rispetto all'origine (FORSE una roba del genere? $T(x,y) = (-x, -y)$ ?)"
Infine non so dimostrare se una funziona è iniettiva / suriettiva / biettiva.
Nella mia mente ci sono queste definizioni:
- iniettività: se ad ogni immagine è associato al più una controimmagine
- suriettività: se ad ogni immagine è associata almeno una controimmagine
- biettività: se ad ogni immagine è associata una ed una sola controimmagini e che ogni immagine abbia una controimmagine
In un esercizio del genere, come mi muovo?
"Considerare le seguenti funzioni $T : R^3 -> R^3$. Dire quali di esse siano lineari, iniettive, biettive.
a) $T(x, y, z) = (x+5, y, z)$
b) ...
c) ...
"
Sino a quando si tratta di linearità ci siamo. Una funzione è lineare quando valgono queste due proprietà:
${(T(x+y) = T(x) + T(y)),(T(kx) = kT(x)):}$
Quindi cerco di dimostrare queste proprietà ed amen. (per la cronaca la A non è lineare perchè c'è quel +5)
Ed ora? Iniettività? Suriettività? Biettività?
Come dire, concettualmente ci semi-siamo ma.. materialmente 0.
Grazie mille!
Ad esempio non capisco proprio come e COSA rappresentino alcune matrici proposte negli esercizi. (tra l'altro non so neanche da dove iniziare a mettere le mani)
Vi posto qualche traccia sperando in qualche generosa illuminazione..
Inserisco tra (parentesi) i miei commenti
"Calcolare le matrici associate ai seguenti endomorfismi di $R^2$ (cioè che da $R$ vanno in $R$ giusto?), sia rispetto alla base canonica, sia rispetto alla base formata dai vettori $(1,-1),(0,1/2)$:
a) $T(x,y) = (0,x+y)$ (cioè io prendo un vettore $(x,y)$ e me lo trasformo in uno $(0,x+y)$.. giusto?)
b) $T(x,y) = (x-y, y)$
c) $T(x,y) = (x+y, x-y)$
d) Una rotazione intorno all'origine di $\pi/4$ (non ho la benchè minima idea di cosa voglia
)e) Le simmetrie rispetto agli assi cartesiani ($T(x,y) = (x, -y)$ ??)
f) La simmetria rispetto all'origine (FORSE una roba del genere? $T(x,y) = (-x, -y)$ ?)"
Infine non so dimostrare se una funziona è iniettiva / suriettiva / biettiva.
Nella mia mente ci sono queste definizioni:
- iniettività: se ad ogni immagine è associato al più una controimmagine
- suriettività: se ad ogni immagine è associata almeno una controimmagine
- biettività: se ad ogni immagine è associata una ed una sola controimmagini e che ogni immagine abbia una controimmagine
In un esercizio del genere, come mi muovo?
"Considerare le seguenti funzioni $T : R^3 -> R^3$. Dire quali di esse siano lineari, iniettive, biettive.
a) $T(x, y, z) = (x+5, y, z)$
b) ...
c) ...
"
Sino a quando si tratta di linearità ci siamo. Una funzione è lineare quando valgono queste due proprietà:
${(T(x+y) = T(x) + T(y)),(T(kx) = kT(x)):}$
Quindi cerco di dimostrare queste proprietà ed amen. (per la cronaca la A non è lineare perchè c'è quel +5)
Ed ora? Iniettività? Suriettività? Biettività?
Come dire, concettualmente ci semi-siamo ma.. materialmente 0.
Grazie mille!
Risposte
Qualche commento in libertà.
No. Un endomorfismo è un applicazione lineare che ha dominio e codominio coincidenti (passami un po' questo parlare). Un endomorfismo di \(\displaystyle \mathbb{R}^{2} \) è pertanto un'applicazione del tipo \(\displaystyle \phi: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} \).
Questi esercizi si risolvono all'incirca alla stessa maniera: calcoli le immagini dei vettori della base canonica e le incolonni una di fianco all'altra. Il significato di questa operazione sta scritto in un qualsiasi libro di algebra lineare (ma del resto è anche abbastanza intuitivo).
Se si parla di applicazioni lineari, provare l'iniettività equivale a provare che il nucleo contiene solo il vettore nullo. Se poi si tratta di endomorfismi, questo garantisce automaticamente anche la suriettività, e quindi la biiettività.
"GSnake":
[...] (cioè che da $R$ vanno in $R$ giusto?)
No. Un endomorfismo è un applicazione lineare che ha dominio e codominio coincidenti (passami un po' questo parlare). Un endomorfismo di \(\displaystyle \mathbb{R}^{2} \) è pertanto un'applicazione del tipo \(\displaystyle \phi: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} \).
"GSnake":
a) $T(x,y) = (0,x+y)$ (cioè io prendo un vettore $(x,y)$ e me lo trasformo in uno $(0,x+y)$.. giusto?)
b) $T(x,y) = (x-y, y)$
c) $T(x,y) = (x+y, x-y)$
d) Una rotazione intorno all'origine di $\pi/4$ (non ho la benchè minima idea di cosa voglia
e) Le simmetrie rispetto agli assi cartesiani ($T(x,y) = (x, -y)$ ??)
f) La simmetria rispetto all'origine (FORSE una roba del genere? $T(x,y) = (-x, -y)$ ?)"
Questi esercizi si risolvono all'incirca alla stessa maniera: calcoli le immagini dei vettori della base canonica e le incolonni una di fianco all'altra. Il significato di questa operazione sta scritto in un qualsiasi libro di algebra lineare (ma del resto è anche abbastanza intuitivo).
"GSnake":
Infine non so dimostrare se una funziona è iniettiva / suriettiva / biettiva.
Se si parla di applicazioni lineari, provare l'iniettività equivale a provare che il nucleo contiene solo il vettore nullo. Se poi si tratta di endomorfismi, questo garantisce automaticamente anche la suriettività, e quindi la biiettività.
"Delirium":
Qualche commento in libertà.
[quote="GSnake"]...
No. Un endomorfismo è un applicazione lineare che ha dominio e codominio coincidenti (passami un po' questo parlare). Un endomorfismo di \(\displaystyle \mathbb{R}^{2} \) è pertanto un'applicazione del tipo \(\displaystyle \phi: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} \).[/quote]
Perfetto.
"Delirium":
[quote="GSnake"]...
Questi esercizi si risolvono all'incirca alla stessa maniera: calcoli le immagini dei vettori della base canonica e le incolonni una di fianco all'altra. Il significato di questa operazione sta scritto in un qualsiasi libro di algebra lineare (ma del resto è anche abbastanza intuitivo).[/quote]
Potresti farmi qualche esempio? Mi sarebbe di grandissimo aiuto.
Come imposto gli ultimi tre?
"Delirium":
[quote="GSnake"]Infine non so dimostrare se una funziona è iniettiva / suriettiva / biettiva.
Se si parla di applicazioni lineari, provare l'iniettività equivale a provare che il nucleo contiene solo il vettore nullo. Se poi si tratta di endomorfismi, questo garantisce automaticamente anche la suriettività, e quindi la biiettività.[/quote]
Come faccio a provare che il kernel contenga SOLO il vettore nullo? Cioè non riesco a capire come faccia a non contenerlo se proprio la definizione è quella di $Ker = {x \in K : f(x) = 0}$
"GSnake":
[...]
Come faccio a provare che il kernel contenga SOLO il vettore nullo? Cioè non riesco a capire come faccia a non contenerlo se proprio la definizione è quella di $Ker = {x \in K : f(x) = 0}$
Risolvendo un sistema lineare omogeneo. Se $A$ è la matrice associata all'endomorfismo $f : RR^2 \to RR^2$, $Ker(f) = \{x \in RR^2 : A x = 0 \}$.
"GSnake":
[...] non riesco a capire come faccia a non contenerlo se proprio la definizione è quella di $Ker = {x \in K : f(x) = 0}$
Sì, il nucleo, che ti ricordo essere un sottospazio vettoriale, contiene sempre il vettore banale, ma non è detto che contenga solo quello! Per esempio il nucleo dell'applicazione \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] è generato dal vettore \(\displaystyle \binom{-2}{1} \), quindi una tale applicazione non è iniettiva per le ragioni esposte sopra (la dimostrazione di \(\displaystyle \text{ker} \phi=\langle 0 \rangle \ \Longleftrightarrow \ \phi \ \text{iniettiva} \) è abbastanza semplice).
"GSnake":
Potresti farmi qualche esempio? Mi sarebbe di grandissimo aiuto.
Prendo la prima, per esempio; \(\displaystyle T(x,y) = (0,x+y) \).
Un'applicazione lineare è completamente determinata quando si conosce il suo comportamento contro una base. Quindi in questo caso \(\displaystyle T(1,0)=(0,1) \) e \(\displaystyle T(0,1)=(0,1) \), quindi la matrice di \(\displaystyle T \) rispetto alla base canonica è \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(T)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
"Delirium":
[quote="GSnake"]
[...] non riesco a capire come faccia a non contenerlo se proprio la definizione è quella di $Ker = {x \in K : f(x) = 0}$
Sì, il nucleo, che ti ricordo essere un sottospazio vettoriale, contiene sempre il vettore banale, ma non è detto che contenga solo quello! Per esempio il nucleo dell'applicazione \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] è generato dal vettore \(\displaystyle \binom{-2}{1} \), quindi una tale applicazione non è iniettiva per le ragioni esposte sopra (la dimostrazione di \(\displaystyle \text{ker} \phi=\langle 0 \rangle \ \Longleftrightarrow \ \phi \ \text{iniettiva} \) è abbastanza semplice).
"GSnake":
Potresti farmi qualche esempio? Mi sarebbe di grandissimo aiuto.
Prendo la prima, per esempio; \(\displaystyle T(x,y) = (0,x+y) \).
Un'applicazione lineare è completamente determinata quando si conosce il suo comportamento contro una base. Quindi in questo caso \(\displaystyle T(1,0)=(0,1) \) e \(\displaystyle T(0,1)=(0,1) \), quindi la matrice di \(\displaystyle T \) rispetto alla base canonica è \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(T)=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \][/quote]
E prendendo invece come basi i due vettori che sono esposti sopra nell'esercizio? Cosa ne esce? Perchè a quanto ho capito se voglio esprimere una matrice associata attraverso le basi canoniche è abbastanza semplice.
Ad esempio se ho $T(x,y) = (x+y+z,x-y-z)$ la matrice associata è semplice:
$((1,1,1),(1,-1,-1))$ / $((1,1),(1,-1),(1,-1))$ (semplicemente riscrivo come righe/colonne i vettori con i vari coefficienti)
Nell'altro caso?
EDIT: Perdonami ma non ho capito come hai ottenuto il vettore generatore del nucleo..
"GSnake":
E prendendo invece come basE i due vettori che sono esposti sopra nell'esercizio? Cosa ne esce?
[...]
O ti ricavi le matrici di cambiamento di base oppure ti calcoli le immagini di quest'altra base e le incolonni.
"GSnake":
EDIT: Perdonami ma non ho capito come hai ottenuto il vettore generatore del nucleo..
A occhio
Ma in generale si deve risolvere un sistema omogeneo, come indicato da Seneca un paio di post più sopra.
Sto iniziando, lentamente, ad ingranare.
Correggetemi se sbaglio.
Quando io creo una matrice associata non sto facendo altro che scrivere "a cosa corrispondono" quelle $(x,y,z)$ nell'altro campo, seguendo però come "sistema di riferimento" una determinata base (che sia canonica oppure determinata da vettori).
Right?
Non riesco però a svolgere questo esercizio, cioè non capisco cosa "voglia".
"Sia $T: R^3 -> R^4$ la funzione lineare così definita:
$T(x,y,z) = (x+y+2z, x+y, x-y, z)$
d) Costruire la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica in $R^3$ e alla base $((-1,0,0,0),(0,1/2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$ in $R^4$"
Potreste spiegarmi in "italiano" (
) cosa vuole che faccia? Magari poi una spiegazione matematica ci sta tutta, solo che voglio prima comprendere a pieno il concetto di ciò che sto facendo.
Grazie mille!
PS: Io mi sono ricavato la matrice associata alla base canonica in $R^3$ che è molto semplice ed è $((1,1,2),(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$... cosa me ne faccio dell'altra base?
Correggetemi se sbaglio.
Quando io creo una matrice associata non sto facendo altro che scrivere "a cosa corrispondono" quelle $(x,y,z)$ nell'altro campo, seguendo però come "sistema di riferimento" una determinata base (che sia canonica oppure determinata da vettori).
Right?
Non riesco però a svolgere questo esercizio, cioè non capisco cosa "voglia".
"Sia $T: R^3 -> R^4$ la funzione lineare così definita:
$T(x,y,z) = (x+y+2z, x+y, x-y, z)$
d) Costruire la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica in $R^3$ e alla base $((-1,0,0,0),(0,1/2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$ in $R^4$"
Potreste spiegarmi in "italiano" (
) cosa vuole che faccia? Magari poi una spiegazione matematica ci sta tutta, solo che voglio prima comprendere a pieno il concetto di ciò che sto facendo.Grazie mille!
PS: Io mi sono ricavato la matrice associata alla base canonica in $R^3$ che è molto semplice ed è $((1,1,2),(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$... cosa me ne faccio dell'altra base?
"GSnake":
Sto iniziando, lentamente, ad ingranare.
Correggetemi se sbaglio.
Quando io creo una matrice associata non sto facendo altro che scrivere "a cosa corrispondono" quelle $(x,y,z)$ nell'altro campo, seguendo però come "sistema di riferimento" una determinata base (che sia canonica oppure determinata da vettori).
Right?
[...]
Fondamentalmente è molto probabile che tu abbia capito, ma detta così è piuttosto brutta. Per conoscere l'operato di un'applicazione lineare è sufficiente sapere come essa si comporta contro un base, spesso quella canonica. Siccome i vettori dello spazio di partenza non sono altro che combinazioni lineari dei vettori della base (canonica), le loro immagini sono completamente determinate a partire dalle immagini dei vettori di base (canonica).
Si può dire che una matrice "mappa" il comportamento dell'applicazione lineare a cui è associata.
Se poi le basi degli spazi di partenza ed d'arrivo sono diverse (e hai un'applicazione lineare associata a tali due differenti basi), avrai elementi che "partono" scritti rispetto ad un riferimento e che "arrivano" scritti rispetto ad un altro riferimento. I vettori sono di fatto gli stessi, ma le loro coordinate sono differenti perché è differente la base attraverso cui sono scritti.
Più precisamente, siano p.e. \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \) due spazi vettoriali su di un campo \(\displaystyle C\) e si consideri una base \(\displaystyle \mathcal{V}=\{ v_{1} , \dots , v_{n} \} \) di \(\displaystyle V \). Scelti comunque \(\displaystyle n \) vettori \(\displaystyle w_{1}, \dots , w_{n} \) di \(\displaystyle W \) esiste un'unica applicazione lineare \(\displaystyle \phi: V \to W \) t.c. \(\displaystyle \phi(v_{i})=w_{i} \) (per \(\displaystyle i=1, \dots , n \)).
Breve dimostrazione (esistenza ed unicità):
Se \(\displaystyle v=\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} \), ponendo \(\displaystyle \phi(v)=\sum_{i} \alpha_{i} w_{i} \) si ottiene un'applicazione lineare.
Se poi \(\displaystyle \psi : V \to W \) è un'applicazione lineare tale che \(\displaystyle \psi(v_{i})=w_{i} \), allora \(\displaystyle \psi(v)=\psi(\sum_{i} \alpha_{i} v_{i} )=\sum_{i} \alpha_{i} \psi(v_{i}) = \sum_{i} \alpha_{i} w_{i} = \phi(v) \), da cui l'unicità.
EDIT: refuso grammaticale.
Perfetto grazie mille!
Ultimo problema però: come posso risolvere quell'esercizio?
Ultimo problema però: come posso risolvere quell'esercizio?
"GSnake":
[...]
PS: Io mi sono ricavato la matrice associata alla base canonica in $R^3$ che è molto semplice ed è $((1,1,2),(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$... cosa me ne faccio dell'altra base?
Quella che hai ricavato è \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(T) \), matrice della trasformazione data rispetto alle basi canoniche dello spazio di partenza e di quello di arrivo. Ora ti serve la matrice di cambiamento di base \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{V}}(\text{id}) \) in modo tale che \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{E} , \mathcal{V}} (\text{id}) \alpha_{\mathcal{E},\mathcal{E}}(T) \) sia la matrice cercata.
Più di così non ti dico, altrimenti ti risolvo l'esercizio.
@Flamber: non introdurti in discussioni altrui, soprattutto quando non sono ancora concluse. Se hai dubbi, apri un altro topic.
[xdom="Seneca"]Il messaggio di Flamber è stato spostato qui.[/xdom]
Perdonami ma non capisco proprio le notazioni.... non ci siamo. :'(
EDIT: Ho appena studiato le matrici di transizione (credo tu ti riferisca a quelle) ma si possono solo utilizzare con endomorfismi... Cosa faccio?
EDIT: Ho appena studiato le matrici di transizione (credo tu ti riferisca a quelle) ma si possono solo utilizzare con endomorfismi...
Cosa faccio?
Non so per quale motivo, ma credevo di aver quotato una matrice \(\displaystyle 3 \times 3 \). Hai perfettamente ragione intorno alle matrici di cambiamento di base.
Allora credo che tu debba scrivere i vettori immagine della base canonica come combinazione lineare dei vettori della base data nello spazio d'arrivo, e poi prenderne le coordinate. Faccio un esempio: l'immagine di \(\displaystyle e_{1} \) tramite \(\displaystyle T \) è \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
posti poi \(\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \(\displaystyle v_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \(\displaystyle v_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) e \(\displaystyle v_{4}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \)
si nota che \(\displaystyle T(e_{1})=-v_{1} + 2v_{2} + \frac{1}{2} v_{3} \), cioè \(\displaystyle T(e_{1})=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \) rispetto alla base \(\displaystyle \mathcal{V} \).
Comunque GSnake, un consiglio: buttati un po'! In matematica spesso si procede anche per tentativi, alcuni fallimentari e altri meno. Sbagliare è concesso (e figuriamoci!), quindi forza! Non aspettare che gli altri arrivino con la soluzione (magari anche sbagliata) in mano!
Allora credo che tu debba scrivere i vettori immagine della base canonica come combinazione lineare dei vettori della base data nello spazio d'arrivo, e poi prenderne le coordinate. Faccio un esempio: l'immagine di \(\displaystyle e_{1} \) tramite \(\displaystyle T \) è \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
posti poi \(\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \(\displaystyle v_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \(\displaystyle v_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) e \(\displaystyle v_{4}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \)
si nota che \(\displaystyle T(e_{1})=-v_{1} + 2v_{2} + \frac{1}{2} v_{3} \), cioè \(\displaystyle T(e_{1})=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \) rispetto alla base \(\displaystyle \mathcal{V} \).
Comunque GSnake, un consiglio: buttati un po'! In matematica spesso si procede anche per tentativi, alcuni fallimentari e altri meno. Sbagliare è concesso (e figuriamoci!), quindi forza! Non aspettare che gli altri arrivino con la soluzione (magari anche sbagliata) in mano!
Assolutamente, hai ragione! Solo che a volte non so proprio cosa fare! Io prima tento ciò che ho in mente (a volte robe proprio impossibili...) ed in caso di emergenza, chiedo aiuto 
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
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