Matrici associate allo stesso endomorfismo non simili...Why?
Salve a tutti.
Sono incappato, nelle mie dispense, in un esercizio dove il professore si diverte a porre una domanda al lettore, e io da curioso come sono non capendo la risposta non andrò avanti finchè non capisco perchè. Premetto che ho già chiesto al professore, ma non ho chiaro il discorso, quindi mi rivolgo a voi. Cito solo i punti di interesse alla domanda, e i risultati che possono servire.
Sia $f: RR^3\to RR^3$ la funzione data da $f: (x,y,z)$= ( $2x+y-3z$ ,$-2x+2z$ ,$x-2y-4z$).
a) Si scriva la matrice A di f rispetto alle base canoniche del dominio e del codominio.
E qua le colonne di A sono le componenti delle immagini rispetto alle basi canoniche:
$((2,1,-3),(-1,0,2),(1,-2,-4))$
c) Si scriva la matrice B di f rispetto alla base canonica del dominio e alla base
$w_1$$=(0,-1,1)$, $w_2$$=(1,0,1)$, $w_3$$=(1,-1,0)$ del codominio.
Qui ho operato esprimendo i vettori $fe_1$, $fe_2$, $fe_3$ come combinazione lineare dei vettori della base scelta per il codominio ( i vettori $w_1$,$w_2$, $w_3$).
I coefficienti ottenuti ( le coordinate rispetto alla base del codominio) sono risultati essere le colonne di B.
Ho ottenuto questa B:
$((0,-3/2,-3/2),(1,-1/2,-5/2),(1,3/2,-1/2))$
d) Le matrici A e B sono simili? Perchè?
Quel perchè è la mia domanda. Esse non risultano simili, e ok, il perchè si può portare vedendo che il polinomio caratteristico è diverso. Ma il professore mi ha scritto questa cosa:
"Non sono simili perché una delle due matrici è riferita a delle basi diverse per il dominio e il codominio, mentre quando si cambia la base del dominio si dovrebbe usare la stessa anche per il codominio.".
Non ho chiaro questo discorso. Ho effettuato il cambio base: non dovrebbero essere simili?
Grazie per l'attenzione.
Sono incappato, nelle mie dispense, in un esercizio dove il professore si diverte a porre una domanda al lettore, e io da curioso come sono non capendo la risposta non andrò avanti finchè non capisco perchè. Premetto che ho già chiesto al professore, ma non ho chiaro il discorso, quindi mi rivolgo a voi. Cito solo i punti di interesse alla domanda, e i risultati che possono servire.
Sia $f: RR^3\to RR^3$ la funzione data da $f: (x,y,z)$= ( $2x+y-3z$ ,$-2x+2z$ ,$x-2y-4z$).
a) Si scriva la matrice A di f rispetto alle base canoniche del dominio e del codominio.
E qua le colonne di A sono le componenti delle immagini rispetto alle basi canoniche:
$((2,1,-3),(-1,0,2),(1,-2,-4))$
c) Si scriva la matrice B di f rispetto alla base canonica del dominio e alla base
$w_1$$=(0,-1,1)$, $w_2$$=(1,0,1)$, $w_3$$=(1,-1,0)$ del codominio.
Qui ho operato esprimendo i vettori $fe_1$, $fe_2$, $fe_3$ come combinazione lineare dei vettori della base scelta per il codominio ( i vettori $w_1$,$w_2$, $w_3$).
I coefficienti ottenuti ( le coordinate rispetto alla base del codominio) sono risultati essere le colonne di B.
Ho ottenuto questa B:
$((0,-3/2,-3/2),(1,-1/2,-5/2),(1,3/2,-1/2))$
d) Le matrici A e B sono simili? Perchè?
Quel perchè è la mia domanda. Esse non risultano simili, e ok, il perchè si può portare vedendo che il polinomio caratteristico è diverso. Ma il professore mi ha scritto questa cosa:
"Non sono simili perché una delle due matrici è riferita a delle basi diverse per il dominio e il codominio, mentre quando si cambia la base del dominio si dovrebbe usare la stessa anche per il codominio.".
Non ho chiaro questo discorso. Ho effettuato il cambio base: non dovrebbero essere simili?
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Se:
$f(x,y,z)=(2x+y-3z,-2x+2z,x-2y-4z)$
allora, rispetto alla base canonica:
$A=((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))$
Probabilmente una svista. Inoltre, la matrice di cambiamento di base dalla base assegnata a quella canonica risulta essere:
$T=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$
Ergo, la matrice di cambiamento di base dalla base canonica a quella assegnata è:
$T^(-1)=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)$
In definitiva, rispetto alla base assegnata, la matrice che rappresenta l'endomorfismo di partenza risulta essere:
$T^(-1)AT=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$
Ecco, $[A]$ e $[T^(-1)AT]$ sono, per definizione, simili. Insomma, per avere matrici simili è necessario rappresentare i vettori rispetto alla stessa base assegnata prima e dopo la trasformazione. Viceversa, se il cambiamento di base viene operato solo nella rappresentazione dei vettori prima oppure dopo la trasformazione:
$AT=((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$ solo prima
$T^(-1)A=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))$ solo dopo
evidentemente non si possono ottenere matrici simili. Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Viceversa, contatterò il mio vecchio professore di Geometria, tramite seduta spiritica visto che è già passato a miglior vita, per farmi rinfrescare un po' le idee.
$f(x,y,z)=(2x+y-3z,-2x+2z,x-2y-4z)$
allora, rispetto alla base canonica:
$A=((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))$
Probabilmente una svista. Inoltre, la matrice di cambiamento di base dalla base assegnata a quella canonica risulta essere:
$T=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$
Ergo, la matrice di cambiamento di base dalla base canonica a quella assegnata è:
$T^(-1)=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)$
In definitiva, rispetto alla base assegnata, la matrice che rappresenta l'endomorfismo di partenza risulta essere:
$T^(-1)AT=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$
Ecco, $[A]$ e $[T^(-1)AT]$ sono, per definizione, simili. Insomma, per avere matrici simili è necessario rappresentare i vettori rispetto alla stessa base assegnata prima e dopo la trasformazione. Viceversa, se il cambiamento di base viene operato solo nella rappresentazione dei vettori prima oppure dopo la trasformazione:
$AT=((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$ solo prima
$T^(-1)A=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))$ solo dopo
evidentemente non si possono ottenere matrici simili. Spero di essere stato sufficientemente chiaro. Viceversa, contatterò il mio vecchio professore di Geometria, tramite seduta spiritica visto che è già passato a miglior vita, per farmi rinfrescare un po' le idee.
"speculor":
Se:
$f(x,y,z)=(2x+y-3z,-2x+2z,x-2y-4z)$
allora, rispetto alla base canonica:
$A=((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))$
Probabilmente una svista.
Si, è una svista, ho sbagliato la funzione, la matrice era giusta, ma questo non è influente di molto.
"speculor":
Inoltre, la matrice di cambiamento di base dalla base assegnata a quella canonica risulta essere:
$T=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$
Ergo, la matrice di cambiamento di base dalla base canonica a quella assegnata è:
$T^(-1)=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)$
So che hai ragione te... Ma non dovrebbe essere il contrario?Cioè T quella dalla base canonica a quella assegnata e viceversa? Alla fine T rappresenta le coordinate di w rispetto alla base canonica... Questo punto è il fulcro che mi manca per capire.
"speculor":
In definitiva, rispetto alla base assegnata, la matrice che rappresenta l'endomorfismo di partenza risulta essere:
$T^(-1)AT=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$
Ecco, $[A]$ e $[T^(-1)AT]$ sono, per definizione, simili.
Insomma, per avere matrici simili è necessario rappresentare i vettori rispetto alla stessa base assegnata prima e dopo la trasformazione. Viceversa, se il cambiamento di base viene operato solo nella rappresentazione dei vettori prima oppure dopo la trasformazione:
$AT=((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))$ solo prima
$T^(-1)A=((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))^(-1)((2,1,-3),(-2,0,2),(1,-2,-4))$ solo dopo
evidentemente non si possono ottenere matrici simili.
In questo caso NON sono simili perchè abbiamo effettuato il cambiamento di base solo DOPO la trasformazione e non anche prima, giusto? Per trovarne due simili avrei dovuto effettuare il cambiamento di base anche rispetto al dominio usando T e così la matrice associata B sarebbe stata simile ad A... Ho compreso giusto? Ti ringrazio ancora per la disponibilità.
Posso chiederti la cortesia di mettere a posto il tuo ultimo messaggio? Non hai fatto abbastanza attenzione a distinguere le citazioni dalle tue considerazioni. Più che altro a beneficio di coloro che volessero leggere la discussione. Grazie.
Prendi il primo vettore della base assegnata, $(0,-1,1)$ per intenderci. Quali sono le sue componenti rispetto alla base assegnata medesima? Evidentemente $(1,0,0)$. Infatti:
$(0,-1,1)=1*(0,-1,1)+0*(1,0,1)+0*(1,-1,0)$
Vedi allora che:
$((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))((1),(0),(0))=((0),(-1),(1))$
Si ottengono proprio le sue componenti rispetto alla base naturale:
$(0,-1,1)=0*(1,0,0)-1*(0,1,0)+1*(0,0,1)$
In pratica, la componente unitaria rispetto a se stesso nella base assegnata, le altre due possono essere solo nulle, seleziona la colonna che rappresenta le sue componenti rispetto alla base naturale, sei tu che le hai messe lì perchè funzioni. Lo stesso vale per gli altri due vettori, la componente unitaria rispetto a se stesso si sposta e va a selezionare la colonna corrispondente:
$((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))((0),(1),(0))=((1),(0),(1))$
$((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))((0),(0),(1))=((1),(-1),(0))$
Io stesso non mi ricordo mai quale delle due matrici renda il giusto servizio. Tuttavia, facendo questo semplice ragionamento, l'indecisione si risolve in pochi secondi. Per il resto hai capito bene.
$(0,-1,1)=1*(0,-1,1)+0*(1,0,1)+0*(1,-1,0)$
Vedi allora che:
$((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))((1),(0),(0))=((0),(-1),(1))$
Si ottengono proprio le sue componenti rispetto alla base naturale:
$(0,-1,1)=0*(1,0,0)-1*(0,1,0)+1*(0,0,1)$
In pratica, la componente unitaria rispetto a se stesso nella base assegnata, le altre due possono essere solo nulle, seleziona la colonna che rappresenta le sue componenti rispetto alla base naturale, sei tu che le hai messe lì perchè funzioni. Lo stesso vale per gli altri due vettori, la componente unitaria rispetto a se stesso si sposta e va a selezionare la colonna corrispondente:
$((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))((0),(1),(0))=((1),(0),(1))$
$((0,1,1),(-1,0,-1),(1,1,0))((0),(0),(1))=((1),(-1),(0))$
Io stesso non mi ricordo mai quale delle due matrici renda il giusto servizio. Tuttavia, facendo questo semplice ragionamento, l'indecisione si risolve in pochi secondi. Per il resto hai capito bene.
Perfetto, ti ringrazio veramente. Gentilissimo! Ora ho ben chiaro il discorso.
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