Matrici associate alla stessa forma bilineare
Ciao a tutti. Ho un eserciizio che, a partire da una forma bilineare degenere, mi chiede di calcolare il vettore $y | phi(x,y)=0 AA x in RR^3$ ...ma non so da dove iniziare...
edit: problema del titolo al post n' 4
edit: problema del titolo al post n' 4
Risposte
Imponendo direttamente la condizione.
Avrai l'espressione di questa forma bilineare, no?
Avrai l'espressione di questa forma bilineare, no?
Si, ma credo di aver risolto! Grazie ugualmente
ho un altro problema piuttosto. Devo stabilire se, date due matrici $A$ e $B$, queste possono essere associate alla stessa forma bilineare e, in caso affermativo, trovare il cambiamento di base che trasforma le due matrici.
Queste matrici devono essere congruenti, quindi $A=^tPBP$, è corretto?
Queste matrici devono essere congruenti, quindi $A=^tPBP$, è corretto?
"Paola90":
ho un altro problema piuttosto. Devo stabilire se, date due matrici $A$ e $B$, queste possono essere associate alla stessa forma bilineare e, in caso affermativo, trovare il cambiamento di base che trasforma le due matrici.
Queste matrici devono essere congruenti, quindi $A=^tPBP$, è corretto?
Si.
Siano [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] due vettori e [tex]P[/tex] un cambiamento di basi. Allora se [tex]A[/tex] è la matrice associata alla forma bilineare nella base di partenza e [tex]B[/tex] è la matrice associata alla nuova base si ricava: [tex]^tXAY =\ ^t(PX)BPY =\ ^tX^tPBPY[/tex]. A questo punto basta togliere il riferimento ai vettori e si ha quello che stavi cercando di dimostrare.
Purtroppo temo di non aver capito, a livello pratico, quello che devo fare.
Credo che tu abbia due matrici quadrate $A$ e $B$ e vuoi capire se esse sono congruenti, o equivalentemente vuoi capire se $A$ e $B$ possono essere le matrici associate alla stessa forma bilineare (naturalmente rispetto a due basi diverse).
Immagino che le tue matrici siano a coefficienti reali o complessi. Supponiamo che lo siano.
Se una delle due è simmetrica e l'altra no, puoi concludere che non sono congruenti (perchè?).
Se nessuna delle due è simmetrica, passo la palla a qualcun altro più esperto di me.
Se sono entrambe simmetriche, a livello pratico, io farei così: diagonalizzerei le matrici $A$ e $B$ ottenendo rispettivamente $D_A$ e $D_B$ (entrambe diagonali, con $1$ o $-1$ sulla diagonale, dal teorema di Sylvester).
Se $D_A$ e $D_B$ sono congruenti (trattandosi di matrici diagonali, credo sia facile da verificare), allora anche $A$ e $B$ lo saranno.
Immagino che le tue matrici siano a coefficienti reali o complessi. Supponiamo che lo siano.
Se una delle due è simmetrica e l'altra no, puoi concludere che non sono congruenti (perchè?).
Se nessuna delle due è simmetrica, passo la palla a qualcun altro più esperto di me.
Se sono entrambe simmetriche, a livello pratico, io farei così: diagonalizzerei le matrici $A$ e $B$ ottenendo rispettivamente $D_A$ e $D_B$ (entrambe diagonali, con $1$ o $-1$ sulla diagonale, dal teorema di Sylvester).
Se $D_A$ e $D_B$ sono congruenti (trattandosi di matrici diagonali, credo sia facile da verificare), allora anche $A$ e $B$ lo saranno.
Nessuna delle due è simmetrica! le matrici sono $A=((0,1,1),(0,0,1),(1,0,0))$ e $B=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Guarda le colonne delle due matrici!
Edit: No, un attimo, un attimo. Certo, è vero che le colonne sono state scambiate di posto, però ci devo pensare meglio se ti può essere utile questa osservazione...
Edit: No, un attimo, un attimo. Certo, è vero che le colonne sono state scambiate di posto, però ci devo pensare meglio se ti può essere utile questa osservazione...
io ho provato a fare una cosa (molto stupida, perchè si trattava solo di fare calcoli e non credo che l'esercizio vada risolto così), ho scritto una generica matrice $P$ nelle sue incognite (ossia 9....) e ho provato a risolvere il sistema che ne veniva fuori...ovviamente ci ho rinunciato!
Secondo me, $A$ e $B$ non sono congruenti. Il problema è che non so darti una prova di questa mia "sensazione". 
Attendiamo un'idea da qualche altro utente...
Attendiamo un'idea da qualche altro utente...
Io stavo pensando questa cosa, cirasa.
I generale, dato [tex]$V$[/tex] spazio vettoriale con base [tex]$(v_1,v_2,v_3)$[/tex] e una forma bilineare [tex]$b$[/tex], scrivo la matrice associata
[tex]$\left(\begin{matrix}b(v_1,v_1)&b(v_1,v_2)&b(v_1,v_3)\\b(v_2,v_1)&b(v_2,v_2)&b(v_2,v_3)\\b(v_3,v_1)&b(v_3,v_2)&b(v_3,v_3)\end{matrix}\right)$[/tex]
Se mi limito a scambiare di posto le colonne, mandando come nel nostro caso la prima nella terza, la terza nella seconda e la seconda nella prima, ho
[tex]$\left(\begin{matrix}b(v_1,v_2)&b(v_1,v_3)&b(v_1,v_1)\\b(v_2,v_2)&b(v_2,v_3)&b(v_2,v_1)\\b(v_3,v_2)&b(v_3,v_3)&b(v_3,v_1)\end{matrix}\right)$[/tex]
cioè la matrice della stessa forma bilineare ma avendo preso la base [tex]$(v_2,v_3,v_1)$[/tex].
Non basta questo per dire che esisterà una matrice [tex]$P$[/tex] che permette la congruenza?
I generale, dato [tex]$V$[/tex] spazio vettoriale con base [tex]$(v_1,v_2,v_3)$[/tex] e una forma bilineare [tex]$b$[/tex], scrivo la matrice associata
[tex]$\left(\begin{matrix}b(v_1,v_1)&b(v_1,v_2)&b(v_1,v_3)\\b(v_2,v_1)&b(v_2,v_2)&b(v_2,v_3)\\b(v_3,v_1)&b(v_3,v_2)&b(v_3,v_3)\end{matrix}\right)$[/tex]
Se mi limito a scambiare di posto le colonne, mandando come nel nostro caso la prima nella terza, la terza nella seconda e la seconda nella prima, ho
[tex]$\left(\begin{matrix}b(v_1,v_2)&b(v_1,v_3)&b(v_1,v_1)\\b(v_2,v_2)&b(v_2,v_3)&b(v_2,v_1)\\b(v_3,v_2)&b(v_3,v_3)&b(v_3,v_1)\end{matrix}\right)$[/tex]
cioè la matrice della stessa forma bilineare ma avendo preso la base [tex]$(v_2,v_3,v_1)$[/tex].
Non basta questo per dire che esisterà una matrice [tex]$P$[/tex] che permette la congruenza?
Il problema è che scambiando di posto i vettori della base, nella matrice associata alla forma bilineare si scambiano di posto, non solo le colonne, ma anche le righe.
La matrice associata a [tex]$(v_2,v_3,v_1)$[/tex] dovrebbe essere
[tex]$\left(\begin{matrix}b(v_2,v_2)&b(v_2,v_3)&b(v_2,v_1)\\b(v_3,v_2)&b(v_3,v_3)&b(v_3,v_1)\\b(v_1,v_2)&b(v_1,v_3)&b(v_1,v_1)\end{matrix}\right)$[/tex]
E quindi non basta scambiare l'ordine dei vettori della base...Giusto?
La matrice associata a [tex]$(v_2,v_3,v_1)$[/tex] dovrebbe essere
[tex]$\left(\begin{matrix}b(v_2,v_2)&b(v_2,v_3)&b(v_2,v_1)\\b(v_3,v_2)&b(v_3,v_3)&b(v_3,v_1)\\b(v_1,v_2)&b(v_1,v_3)&b(v_1,v_1)\end{matrix}\right)$[/tex]
E quindi non basta scambiare l'ordine dei vettori della base...Giusto?
Hai ovviamente ragione, ho preso un abbaglio colossale riflettendo poco.
Chiedo scusa.
Per ora non ho altri spunti.
Chiedo scusa.
Per ora non ho altri spunti.
Mica ti devi scusare, non c'è problema
Nel frattempo anch'io continuo a pensarci!
Nel frattempo anch'io continuo a pensarci!
E se passaste alla parte simmetrica ed antisimmetrica? La forma quadratica associata ad una matrice è la stessa associata alla parte simmetrica ($1/2(A+A^T)$) quindi se le matrici sono congruenti pure le parti simmetriche devono esserlo, e sulle parti simmetriche c'è il teorema di Sylvester. Secondo un mio rapidissimo conto (leggi: "un conto con bassissima percentuale di attendibilità") la parte simmetrica di $B$ è definita positiva, quella di $A$ è indefinita e quindi le matrici non sono congruenti.
scusate se mi intrometto, non voglio dare una soluzione ma farvi una domanda: le forme bilineari simmetriche non corrispondono in modo biunivoco con le matrici simmetriche?Se questo fosse vero allora non potrebbero esistere f.b.s la cui matrice associata non sia simmetrica..giusto?
@funny_hill: Giusto, ma non per forza tutte le forme biliineari sono simmetriche. Il risultato a cui facevo riferimento è un altro: tutte le forme quadratiche originano da una (e una sola se il campo di riferimento non è troppo bislacco) forma bilineare simmetrica (*). Quindi:
1) due matrici sono congruenti se e solo se esse sono associate alla stessa forma bilineare;
2) se succede questo, le due matrici sono anche associate alla stessa forma quadratica;
3) data una matrice quadrata, la forma quadratica ad essa associata è la forma quadratica associata alla propria parte simmetrica (parte simmetrica=$1/2(A+A^T)$);
4) se due matrici hanno parti simmetriche non congruenti, non sono congruenti esse stesse.
_______________________________________
(*) Vedi Sharipov, pag.100-101.
1) due matrici sono congruenti se e solo se esse sono associate alla stessa forma bilineare;
2) se succede questo, le due matrici sono anche associate alla stessa forma quadratica;
3) data una matrice quadrata, la forma quadratica ad essa associata è la forma quadratica associata alla propria parte simmetrica (parte simmetrica=$1/2(A+A^T)$);
4) se due matrici hanno parti simmetriche non congruenti, non sono congruenti esse stesse.
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(*) Vedi Sharipov, pag.100-101.
"dissonance":
E se passaste alla parte simmetrica ed antisimmetrica? La forma quadratica associata ad una matrice è la stessa associata alla parte simmetrica ($1/2(A+A^T)$) quindi se le matrici sono congruenti pure le parti simmetriche devono esserlo, e sulle parti simmetriche c'è il teorema di Sylvester. Secondo un mio rapidissimo conto (leggi: "un conto con bassissima percentuale di attendibilità") la parte simmetrica di $B$ è definita positiva, quella di $A$ è indefinita e quindi le matrici non sono congruenti.
Anch'io ho fatto un conto "a bassissima percentuale di attendibilità" e ho ottenuto la stessa cosa che hai ottenuto tu.
Quindi confermo la tua soluzione. Ottima idea!
Un facile esercizio per qualche utente di buona volontà:
Dimostrare che se $A$ e $B$ sono congruenti, allora anche $S_A=1/2(A+A^T)$ e $S_B=1/2(B+B^T)$ sono congruenti.
"cirasa":Grazie!
Anch'io ho fatto un conto "a bassissima percentuale di attendibilità" e ho ottenuto la stessa cosa che hai ottenuto tu.
Quindi confermo la tua soluzione. Ottima idea!
E' tutto merito del pdf di Sharipov che citavo più sopra.
ma sbaglio o qst sn gli esercizi di bande?!?!?!?!? xD
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