Matrici associate ad un endomorfismo di R^3
Salve a tutti avrei un dubbio su come svolgere un calcolo.
Riporto tutto l'esercizio così la cosa risulta più chiara.
Siano $v_1,v_2,v_3, w_1,w_2,w_3 \in R^3$ i vettori
$v_1=(1,0,1), v_2=(0,1,-1),v_3=(0,0,2),w_1=(3,1,0),w_2=(-1,0,2),w_3=(0,2,0)$
Dimostra che (considerate le lettere per le basi in corsivo mentre per le matrici maiuscole normali) $B={v_1,v_2,v_3}$ è una base di $R^3$, verifica che esiste un unico endomorfismo $T \in L(R^3,R^3)$ tale che $T(v_j)=w_j, j=1,2,3$ e trova la matrice associata a $T$ rispetto alla base $B$ e rispetto alla base canonica $B_0$
Allora per verificare che $B$ è una base ho verificato che $detB=|(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,2)|=2!=0$
Poi mi son trovato la matrice associata all'endomorfismo cercato rispetto alla base canonica, ovvero la matrice
$M " t.c. " MB=C, C=|(3,-1,0),(1,0,2),(0,2,0)|$
E dunque $M=CB^-1$. Il mio primo dubbio è qui: se io invece di calcolarmi la matrice inversa col metodo dei cofattori, volessi usare il metodo(non l'ho quasi mai usato sarò sincero) per cui se ho, per esempio(le notazioni sono generali e non sono quelle dell'esercizio usate fino ad ora), $B=A^-1C$, scrivo $|A||C|$ e riduco a scala fino a ottenere $|I_n||A^-1C|$ e trovando a destra la matrice cercata. Tuttavia nel mio caso ho provato a farlo (in pratica ho fatto questo $|C||A| rarr |CA^-1||I_3|$) nel mio caso e ho ottenuto una matrice diversa da quella ottenuta calcolando l'inversa col metodo cofattori. Cioè in realtà ho fatto così all'inizio:
Ho pensato che $CB^-1=B^-1C$ e svolgendo i calcoli ho ottenuto $M=|(3,-1,0),(1,0,2),(-1,3/2,1)|$, tuttavia siccome avevo già svolto l'esercizio usando il metodo dei cofattori, sapevo già che la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B={v_1,v_2,v_3}$ doveva essere $S=|...|=M$, trovata in questo modo:
$S=B^-1MB$, dove $B$ non è altro che la matrice di passaggio da $B_0 rarr B$ (controllate le notazioni che ho posto all'inizio), ovvero esattamente la matrice $B$ che ha per colonne i vettori $v_1,v_2,v_3$.
; ma ciò è impossibile perché $M$ dovrebbe essere l'associata rispetto alla base canonica.
In conclusione le due matrici (ottenute usando il metodo dei cofattori) mi sono venute così $M_(B_0)=|(3,-1,0),(0,1,1),(0,2,0)|, S_B=|(3,-1,0),(1,0,2),(-1,3/2,1)|$. In sintesi
1-) Vorrei sapere se l'esercizio è svolto correttamente? (Spero di sì anche perché ho semplicemente usato i metodi spiegati dal mio libro)
2-)Come svolgo quel prodotto $CB^-1$ col metodo dell'accostamento delle matrici(l'ho riportato sopra per chi se lo fosse perso), non dovrebbe essere uguale a $B^-1C$, eppure i calcoli non tornano
P.S. mi sono accorto che il messaggio è venuto molto lungo ma purtroppo non ho ridotto più che potevo, ringrazio chi lo leggerà interamente per la pazienza
Riporto tutto l'esercizio così la cosa risulta più chiara.
Siano $v_1,v_2,v_3, w_1,w_2,w_3 \in R^3$ i vettori
$v_1=(1,0,1), v_2=(0,1,-1),v_3=(0,0,2),w_1=(3,1,0),w_2=(-1,0,2),w_3=(0,2,0)$
Dimostra che (considerate le lettere per le basi in corsivo mentre per le matrici maiuscole normali) $B={v_1,v_2,v_3}$ è una base di $R^3$, verifica che esiste un unico endomorfismo $T \in L(R^3,R^3)$ tale che $T(v_j)=w_j, j=1,2,3$ e trova la matrice associata a $T$ rispetto alla base $B$ e rispetto alla base canonica $B_0$
Allora per verificare che $B$ è una base ho verificato che $detB=|(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,2)|=2!=0$
Poi mi son trovato la matrice associata all'endomorfismo cercato rispetto alla base canonica, ovvero la matrice
$M " t.c. " MB=C, C=|(3,-1,0),(1,0,2),(0,2,0)|$
E dunque $M=CB^-1$. Il mio primo dubbio è qui: se io invece di calcolarmi la matrice inversa col metodo dei cofattori, volessi usare il metodo(non l'ho quasi mai usato sarò sincero) per cui se ho, per esempio(le notazioni sono generali e non sono quelle dell'esercizio usate fino ad ora), $B=A^-1C$, scrivo $|A||C|$ e riduco a scala fino a ottenere $|I_n||A^-1C|$ e trovando a destra la matrice cercata. Tuttavia nel mio caso ho provato a farlo (in pratica ho fatto questo $|C||A| rarr |CA^-1||I_3|$) nel mio caso e ho ottenuto una matrice diversa da quella ottenuta calcolando l'inversa col metodo cofattori. Cioè in realtà ho fatto così all'inizio:
Ho pensato che $CB^-1=B^-1C$ e svolgendo i calcoli ho ottenuto $M=|(3,-1,0),(1,0,2),(-1,3/2,1)|$, tuttavia siccome avevo già svolto l'esercizio usando il metodo dei cofattori, sapevo già che la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B={v_1,v_2,v_3}$ doveva essere $S=|...|=M$, trovata in questo modo:
$S=B^-1MB$, dove $B$ non è altro che la matrice di passaggio da $B_0 rarr B$ (controllate le notazioni che ho posto all'inizio), ovvero esattamente la matrice $B$ che ha per colonne i vettori $v_1,v_2,v_3$.
; ma ciò è impossibile perché $M$ dovrebbe essere l'associata rispetto alla base canonica.
In conclusione le due matrici (ottenute usando il metodo dei cofattori) mi sono venute così $M_(B_0)=|(3,-1,0),(0,1,1),(0,2,0)|, S_B=|(3,-1,0),(1,0,2),(-1,3/2,1)|$. In sintesi
1-) Vorrei sapere se l'esercizio è svolto correttamente? (Spero di sì anche perché ho semplicemente usato i metodi spiegati dal mio libro)
2-)Come svolgo quel prodotto $CB^-1$ col metodo dell'accostamento delle matrici(l'ho riportato sopra per chi se lo fosse perso), non dovrebbe essere uguale a $B^-1C$, eppure i calcoli non tornano
P.S. mi sono accorto che il messaggio è venuto molto lungo ma purtroppo non ho ridotto più che potevo, ringrazio chi lo leggerà interamente per la pazienza
Risposte
"SteezyMenchi":
Ho pensato che $CA^-1=A^-1C$
Questo non e' corretto. La moltiplicazione tra matrici non e' commutativa.
Non so comunque se ho capito bene i tuoi dubbi e se ti e' utile.
Grazie Quinzio, purtroppo mi son confuso con la proprietà associativa del prodotto tra matrici, chiedo perdono solitamente non scrivo certe cose. Il mio dubbio allora rimane come svolgere il prodotto $CA^-1$ usando il metodo di accostare le matrici e ridurle a scala fino ad ottenere a sinistra la matrice identità (non so se questo procedimento sia noto il mio libro lo usa spesso quando bisogna calcolare un prodotto di matrici in cui pare l'inversa). L'unico problema è che ogni volta che il libro usa tale metodo la matrice inversa si trova a sinistra e quindi la matrice identità viene ottenuta a destra
In questo caso ho l'inversa a destra del prodotto e vorrei sapere come svolgerlo mediante tale tecnica. Non so se sono stato chiaro, spero tu possa rispondermi
In questo caso ho l'inversa a destra del prodotto e vorrei sapere come svolgerlo mediante tale tecnica. Non so se sono stato chiaro, spero tu possa rispondermi
"SteezyMenchi":
Il mio dubbio allora rimane come svolgere il prodotto $CA^-1$ usando il metodo di accostare le matrici e ridurle a scala fino ad ottenere a sinistra la matrice identità (non so se questo procedimento sia noto il mio libro lo usa spesso quando bisogna calcolare un prodotto di matrici in cui pare l'inversa). L'unico problema è che ogni volta che il libro usa tale metodo la matrice inversa si trova a sinistra e quindi la matrice identità viene ottenuta a destra
In questo caso ho l'inversa a destra del prodotto e vorrei sapere come svolgerlo mediante tale tecnica. Non so se sono stato chiaro, spero tu possa rispondermi
La confusione qui nasce perche' la riduzione a scala la puoi fare in due modi:
- operando sulle righe, cioe' facendo della combinazioni lineari di righe
- operando sulle colonne, cioe' facendo della combinazioni lineari di colonne
Se operi sulle righe, ottieni $A^-1C $, se operi sulle colonne, ottieni $CA^-1$.
Se cerchi solo l'inversa di una matrice, i due modi sono equivalenti, ed e' per questo che di solito nei corsi non viene fatta questa distinzione. (Almeno penso che sia cosi')
Ovviamente la spiegazione l'ho omessa
, se vuoi pensarci tu, sul perche' funziona cosi', sarebbe un ottimo esercizio, altrimenti metto un esempio esplicativo.
Potresti mettere un esempio per favore Quinzio. Intendo di come operare , attraverso un'eliminazione di Gauss sulle colonne. Te ne sarei molto grato, ho cercato sui miei libri ma nulla. Non penso venga mai utilizzato sinceramente. E se puoi puoi darmi una piccola spiegazione (non per forza formale)
P.S.domani ho l'esame finalmente e non ho veramente il tempo materiale per ragionare sulla motivazione però ci ritornerò nei giorni successivi
Comunque grazie mille sei di grande aiuto
SPOILER: Ho provato a operare sulle righe della trasposta, e poi ho trasposto nuovamente e mi è tornato il risultato giusto
Ho fatto così:
$C=|(3,-1,0),(1,0,2),(0,2,0)|,B=|(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,2)|$
In pratica ho fatto così
$CB^-1=C^T(B^-1)^T$, ho operato un 'eliminazione di gauss standard sulle righe e l'ho trasposta nuovamente ottenuto proprio la matrice
$M_(B_0)=|(3,-1,0),(0,1,1),(0,2,0)|$
Quindi grazie Quinzio anche se non ho ancora capito il motivo per cui si opera sulle colonne(una tua spiegazione mi farebbe davvero comodo ).
P.S.domani ho l'esame finalmente e non ho veramente il tempo materiale per ragionare sulla motivazione però ci ritornerò nei giorni successivi
Comunque grazie mille sei di grande aiuto
SPOILER: Ho provato a operare sulle righe della trasposta, e poi ho trasposto nuovamente e mi è tornato il risultato giusto
Ho fatto così:
$C=|(3,-1,0),(1,0,2),(0,2,0)|,B=|(1,0,0),(0,1,0),(1,-1,2)|$
In pratica ho fatto così
$CB^-1=C^T(B^-1)^T$, ho operato un 'eliminazione di gauss standard sulle righe e l'ho trasposta nuovamente ottenuto proprio la matrice
$M_(B_0)=|(3,-1,0),(0,1,1),(0,2,0)|$
Quindi grazie Quinzio anche se non ho ancora capito il motivo per cui si opera sulle colonne(una tua spiegazione mi farebbe davvero comodo
).
"SteezyMenchi":
Potresti mettere un esempio .
Certo, anche se sei sulla buona strada.
Intanto in bocca al lupo per domani.
In pratica operare sulle colonne e' la stessa cosa che prendere la trasposta e operare sulle righe (ovvero fare la riduzione a scala classica).
Intanto vorrei chiarire che, esattamente, il metodo di cui sto parlando (e credo anche tu) e' questo:
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_di ... uss-Jordan.
Cosi' evitiamo fraintendimenti.
Adesso vediamo cosa cambia a operare sulle righe o sulle colonne.
Hai una matrice $A$ e ti viene detto che per trovare l'inversa devi fare delle combinazioni lineari di righe in modo da realizzare l'eliminazione di Gauss (algoritmo citato prima). Le stesse operazioni vanno fatte simultaneamente su una matrice identita'. Alla fine dell'algoritmo la matrice identita' e' diventata $A^{-1}$
Queste operazioni sulle righe si possono ottenere / rappresentare con una moltiplicazione a sinistra per una certa matrice $S$.
Sulle righe di $S$ ci sono i coefficienti della combinazione lineare delle righe di $A$.
Ok, esempio semplice con $A= ((1, 0),(1, 1))$
Per fare l'eliminazione di Gauss, la riga 1 e' gia' pronta, quindi
$R1 lArr 1*R1+ 0*R2$.
Per $R2$ dei fare
$R2 lArr -1*R1 + 1*R2$
Ho evidenziato apposta i coefficienti, poi sara' chiaro perche'.
Con queste 2 operazioni $A$ e' diventata $I$ (identita') e se esegui le stesse operazioni su $I$ ottieni $A^{-1}$, ovvero $A^{-1} = ((1, 0),(-1, 1))$.
Riprendiamo queste operazioni:
$R1 lArr 1*R1+ 0*R2$.
$R2 lArr -1*R1 + 1*R2$
Scrivo i coefficienti pari pari dentro una matrice $S$
$S = ((1, 0),(-1, 1))$
e se faccio questa moltiplicazione:
$SA$, ottengo $I$, quindi $SA = I$.
Ovvero ho trovato un modo matematico, matriciale per fare le mie operazioni sulle righe. Ok fin qui ?
Ovviamente se uso $S$ per moltiplicare $I$, ottengo $S = A^{-1}$, come dev'essere.
Benissimo, fino a qui l'esempio era semplice. Se ho delle matrici piu' grosse, l'eliminazione di Gauss richiedera' piu' operazioni.
Utilizzando il metodo matriciale di prima, questo vuol dire che devo continuare a moltiplicare a sinistra per altre matrici $S$ diverse, una per ogni operazione sulle righe.
Cioe' faro':
$S_n ... S_2S_1S_0 A = I$.
Diventa chiaro allora che $S_n ... S_2S_1S_0 = A^{-1}$.
Adesso veniamo al metodo di riduzione simultanea del prodotto di due matrici, quello che usa il tuo libro.
Non c'e' granche' da dire se non che fai queste due operazioni:
$S_n ... S_2S_1S_0 A = I$.
e
$S_n ... S_2S_1S_0 C = A^{-1}C$.
Pausa -------------------
Adesso veniamo al discorso di operare sulle righe o sulle colonne.
Riprendiamo la matrice $A$ di prima
$A= ((1, 0),(1, 1))$
e facciamo la riduzione usando le colonne, per arrivare a $I$ la matrice identita'.
$C1 lArr 1*C1 -1* C2$
$C2 lArr 0*C1 +1* C2$
Come prima, prendiamo una matrice $D$ (la chiamiamo $D$ invece che $S$) e scriviamo nella matrice i coefficienti delle combinazioni lineari.
Ora moltiplichiamo $A$ e $D$, ma ATTENZIONE, questa volta $D$ e' a destra, perche' opero sulle colonne di $A$.
Ovvero $AD = I$.
Di nuovo, $D$ e' a destra, non a sinistra.
La matrice $A$ e' piu' complessa, piu' grande ?
No problem, come prima faremo piu' operazioni sulle colonne, ovvero
$A D_0 D_1 D_2 ... D_n$
Come prima, prendiamo il metodo del tuo libro
$A D_0 D_1 D_2 ... D_n = I$
e
$C D_0 D_1 D_2 ... D_n = CA^{-1}$
Ecco, finito. Vista la differenza ?
Se opero sulle righe ottengo $A^{-1}C$,
e se opero sulle colonne ottengo $CA^{-1}$.
Altra pausa -------------------
Ora veniamo alla parte finale, usando le trasposte.
Il fatto e' che noi vogliamo
$CA^{-1}$ e dovremmo operare sulle colonne, ma non ci piace operare sulle colonne
e vogliamo operare sulle righe come siamo abituati.
Ora, usando le trasposte e ricordando che $XY = (Y^T X^T)^T$
scriviamo
$C D_0 D_1 D_2 ... D_n = CA^{-1} = ( (A^{-1})^T C^T)^T = ( S_n ... S_2S_1S_0 C^T)^T$.
Ovvero si fa quello che hai fatto tu alla fine.
Si prende $C^T$, si fa la riduzione classica con le righe, e poi si fa la trasposta del risultato.
Non pensavo ci fosse tanta teoria dietro l'eliminazione di Gauss. Questi ragionamenti non mi sono mai stati presentati durante il corso. Grazie mille Quinzio per la spiegazione esaustiva, mi dispiace averti fatto scrivere un messaggio così lungo hahaha.
P.S. L'esame è andato molto bene (almeno spero ).
P.S.(2)Ho scoperto qualche giorno fa (su quella pagina di wikipedia inoltre) che quella che il mio libro definisce eliminazione di Gauss all'insù (per ottenere l'identità) si chiama in realtà eliminazione di Gauss-Jordan (non ne avevo idea siccome né il mio libro né il mio professore hanno mai usato tale notazione).
P.S. L'esame è andato molto bene (almeno spero
). P.S.(2)Ho scoperto qualche giorno fa (su quella pagina di wikipedia inoltre) che quella che il mio libro definisce eliminazione di Gauss all'insù (per ottenere l'identità) si chiama in realtà eliminazione di Gauss-Jordan (non ne avevo idea siccome né il mio libro né il mio professore hanno mai usato tale notazione).
"SteezyMenchi":
Non pensavo ci fosse tanta teoria dietro l'eliminazione di Gauss. Questi ragionamenti non mi sono mai stati presentati durante il corso. Grazie mille Quinzio per la spiegazione esaustiva, mi dispiace averti fatto scrivere un messaggio così lungo hahaha.
Di nulla.
Gia' il fattp che hai ringraziato e' qualcosa, di questi tempi
.
P.S. L'esame è andato molto bene (almeno spero
Questo e' l'importante.
P.S.(2)Ho scoperto qualche giorno fa (su quella pagina di wikipedia inoltre) che quella che il mio libro definisce eliminazione di Gauss all'insù (per ottenere l'identità) si chiama in realtà eliminazione di Gauss-Jordan (non ne avevo idea siccome né il mio libro né il mio professore hanno mai usato tale notazione).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo