Matrici associate ad omomorfismi

[anto_zoolander]

We

Avevo una domanda su questo fatto:

Poniamo $f:V->W$
Con fissate basi $B_v={v_1,...,v_n},B_w={w_1,...,w_m}$

sappiamo che $ =Im(f)$

Ora... $f(v_j)=a_(j1)w_1+...+a_(jm)w_m,1leqjleqn$

Ora il quesito nasce qui:
Scrivo il vettore colonna delle coordinate rispetto alla base $B_w$ che sarà quindi

$a_(j1)w_1+...+a_(jm)w_m=((a_(j1)),( : ),(a_(jm)))$

Questa colonna ovviamente al variare di $j$ apparterrà alla matrice associata a $f$
Possiamo dire che $ = < A^1,...,A^n>$

Dunque una qualsiasi combinazione lineare delle colonne di $A$ appartiene all'immagine, facciamo proprio la combinazione ottenendo:

$lambda_1A^1+...+lambda_nA^n=((A^1,...,A^n))((lambda_1),( : ),(lambda_n))=Alambda$

Supponiamo ora che venga data una matrice associata a una applicazione, e una regola. Quando vado a cercare l'immagine di una funzione facendo $Alambda=Y$, poi mostro una base di quanto trovato.
Poi supponiamo di usare quella 'regola' (per intenderci tipo $f(x,y)=(x+y,x-y)$) e mi trovo un'altra base, magari apparentemente diversa(magari i vettori della base sono moltiplicati per scalari implicitamente)
La base che ottengo quando faccio $Alambda$ è la stessa base di quella ottenuta con la regola, a meno di scalari, per l'uguaglianza che si è mostrata con i sistemi di generatori?

[Shocker1]

Ciao!

"anto_zoolander":
Questa colonna ovviamente al variare di $j$ apparterrà alla matrice associata a $f$
Possiamo dire che $ = < A^1,...,A^n>$

No, questo e' falso: la matrice associata all'applicazione $f$ lavora sulle coordinate dei vettori, non sui vettori. Insomma: l'immagine dell span di $f(v_1), ..., f(v_n)$ mediante l'isomorfismo indotto dalla base $B_w$(che associa ad ogni vettore le sue coordinate rispetto a essa) e' uguale allo span delle colonne della matrice associata a $f$ rispetto a $B_V$ e $B_W$.

Supponiamo ora che venga data una matrice associata a una applicazione, e una regola. Quando vado a cercare l'immagine di una funzione facendo $Alambda=Y$, poi mostro una base di quanto trovato.
Poi supponiamo di usare quella 'regola' (per intenderci tipo $f(x,y)=(x+y,x-y)$) e mi trovo un'altra base, magari apparentemente diversa(magari i vettori della base sono moltiplicati per scalari implicitamente)
La base che ottengo quando faccio $Alambda$ è la stessa base di quella ottenuta con la regola, a meno di scalari, per l'uguaglianza che si è mostrata con i sistemi di generatori?

Non ho ben capito quello che hai scritto: hai un'applicazione lineare $f$ e una matrice $A$ associata a $f$ rispetto a due basi $B$ e $C$, come detto sopra l'immagine di $Imf$ mediante l'isomorfismo indotto da $C$ e' uguale allo span delle colonne di $A$, quindi estrai una base del sottospazio preso in considerazione da ${A^1,...,A^n}$, infine ti trovi un'altra base dell'immagine(che vive nello spazio di arrivo, non in $\mathbb{K^n}$ ) utilizzando direttamente l'applicazione.
Bene, allora, se ho capito, la risposta e': dipende. Se la base te la trovi estraendola da ${f(v_1), ..., f(v_n)}$(dove i $v_i$ appartengono a $B$ base di partenza) allora non puo' che coincidere con la base trovata in precedenza(ricordandosi ovviamente di tornare indietro con l'isomorfismo), se invece la base la trovi in altri modi(anche valutando l'applicazione in una base di partenza differente) allora potrebbe essere diversa.

Che dici, ti torna?