Matrici associate ad applicazioni lineari in diverse basi

[Incentiveman]

Ciao a tutti ragazzi
lunedì ho il primo compitino di geometria 1 che verterà su :

-vettori
-spazi e sottospazi
-matrici
-applicazioni lineari
-determinanti[/list:u:kmxs7v2i]
(i primi 6 capitoli del Lang per intenderci)
è più di una settimana che studio sul Lang e ormai dovrei saper fare tutti gli esercizi che mi propone ma cercando online ho trovato degli eserciziari con soluzioni tra cui questo:http://cdm.unimo.it/home/matematica/cristofori.paola/Es_geo1(soluz).pdf
l'esercizio che volevo fare è il n°16 ed il testo dice:



Sia $V^3$ spazio vettoriale e sia $\beta = (e_1,e_2,e_3)$ una sua base. Sia T endomorfisrmo tc:


$T(e_1 - 3e_3)=e_1 - 2e_2 -e_3$
$ T(e_1+e_2+e_3)= 3e_2 +4e_3 $
$ T(e_2 -e_3)= e_1 $[/list:u:kmxs7v2i]

Determinare il valore del parametro reale $K$ affinché il vettore $v= (k+1) e_2 -4(k^2 -1 )e_3$ appartenga al nucleo di T




so che esistono vari modi di fare questo esercizio tra cui iniziare un sistemone con

$T(e_1) = X$
$T(e_2)=Y$
$T(e_3)=Z$[/list:u:kmxs7v2i]
ma io ho pensato di fare così:
i tre vettori su cui so quanto vale l'applicazione lineare son linearmente indipendenti ergo sono una base -> so come si comporta la mia applicazione su una base -> ne scrivo la matrice associata.
per comodità rinomino i tre vettori come $v_1 , v_2 e v_3$ e so che:
$T(a v_1 +b v_2 +c v_3)= a(e_1 - 2e_2 -e_3) + b(3e_2 +4e_3) +c(e_1) $ per linearità
adesso raccolgo le coordinate
$T(a v_1 +b v_2 +c v_3)=(a+c)e_1 + (3b-2a) e_2 + (4b-a)e_3$ e qui posso cominciare a scrivere la matrice associata a questa applicazione che va dalla base che ho definito io $\beta ' =(v_1,v_2,v_3)$ nella base $\beta = (e_1,e_2,e_3)$ giusto?

$M(F)^(\beta') _\beta $ $((1,0,1),(-2,3,0),(-1,4,0))$

ora per definire la matrice $M(F)^\beta _\beta$ io dovrei solo moltiplicare a sinistra $ M(F)^(\beta') _\beta $ per la matrice $Id^(\beta)_(\beta')$ e ottenere qualcosa del genere:
$((1,0,1),(-2,3,0),(-1,4,0))$$Id^(\beta)_(\beta') = M(F)^(\beta)_(\beta)$

il ragionamento che ho fatto è corretto?
per il secondo punto dovrei farcela da solo usando il metodo dei pivot per trovare una base del Ker e da lì in poi è tutta discesa. L'unico problema è che la matrice che torna a me non è quella nelle soluzioni quindi vorrei sapere se ho fatto qualche errore nei ragionamenti o nei calcoli (nel caso li rifaccio anche su wolfram-alpha)

la matrice che torna a me alla fine:

$1/3((1,1,-2),(-1,5,5),(2,5,5))$


Ciao a tutti e grazie in anticipo per le risposte

Edoardo

[Sk_Anonymous]

Interpretando il testo alla lettera, come è giusto che sia, si può rispondere alla domanda facendo il minor numero di considerazioni possibili. Notando che le immagini dei vettori che costituiscono la "seconda" base sono linearmente indipendenti, la seguente matrice ha infatti rango $3$:

$A=((1,0,1),(-2,3,0),(-1,4,0))$

l'endomorfismo risulta biiettivo e il nucleo costituito dal solo vettore nullo. Quindi, affinchè il seguente vettore:

$v=(k+1)e_2-4(k^2-1)e_3$

appartenga al nucleo, si tratta banalmente di imporre che esso coincida con il vettore nullo:

$\{(k+1=0),(-4(k^2-1)=0):} rarr \{(k=-1),(k=+-1):} rarr k=-1$

Se, viceversa, vuoi complicarti la vita determinando la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla "prima" base, devi semplicemente eseguire il seguente prodotto matriciale:

$T=((1,0,1),(-2,3,0),(-1,4,0))((1,1,0),(0,1,1),(-3,1,-1))^-1=((1,0,1),(-2,3,0),(-1,4,0))((2/5,-1/5,-1/5),(3/5,1/5,1/5),(-3/5,4/5,-1/5))=((-1/5,3/5,-2/5),(1,1,1),(2,1,1))$

Ma, ripeto, per rispondere a quella domanda non è assolutamente necessario.

[Incentiveman]

grazie mille molto gentile, avevo sbagliato a fare l'inversa ed era per questo che non mi tornava ma sopratutto grazie ancora per la tua risposta; in effetti faccio troppi passaggi per rispondere a una sola domanda così semplice