Matrici antisimmetriche e vettori ortogonali
Salve, sto avendo problemi con un esercizio che proprio non riesco a risolvere.
Sia $ A $ una matrice antisimmetrica di ordine $ n $. Sia ora $ v \in \mathbb{R^n} $.
Allora $ \forall v \in \mathbb{R^n}, \langle v | Av \rangle = 0 $, cioè preso un qualunque $ v $, questo è ortogonale a $ Av $, qualunque sia il prodotto scalare $ \langle \cdot | \cdot \rangle : \mathbb{R^n} \times \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} $.
Controllando nella soluzione del testo, riporta solamente che si deduce dal fatto che $ \langle v|Av\rangle = \langle A^Tv|v\rangle = -\langle Av|v\rangle $ e non capisco una cosa. La seconda uguaglianza è scontata in quanto $ A $ è antisimmetrica, ma la prima non riesco a capire perché è vera.
Mi potreste aiutare a capire?
Ringrazio in anticipo chi avrà la pazienza di rispondere
Sia $ A $ una matrice antisimmetrica di ordine $ n $. Sia ora $ v \in \mathbb{R^n} $.
Allora $ \forall v \in \mathbb{R^n}, \langle v | Av \rangle = 0 $, cioè preso un qualunque $ v $, questo è ortogonale a $ Av $, qualunque sia il prodotto scalare $ \langle \cdot | \cdot \rangle : \mathbb{R^n} \times \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R} $.
Controllando nella soluzione del testo, riporta solamente che si deduce dal fatto che $ \langle v|Av\rangle = \langle A^Tv|v\rangle = -\langle Av|v\rangle $ e non capisco una cosa. La seconda uguaglianza è scontata in quanto $ A $ è antisimmetrica, ma la prima non riesco a capire perché è vera.
Mi potreste aiutare a capire?
Ringrazio in anticipo chi avrà la pazienza di rispondere
Risposte
Il fatto che \(\langle Ax | y\rangle = \langle x| A^T y\rangle\) è la proprietà caratterizzante l'operazione di trasposizione. Attenzione: vale solo se \(\langle\cdot | \cdot\rangle \) è il prodotto scalare standard di \(\mathbb R^n\)
\[
\langle x| y\rangle = \sum_{j=1}^n x_j y_j.\]
\[
\langle x| y\rangle = \sum_{j=1}^n x_j y_j.\]
allora suppongo che il testo abbia dimenticato di specificare che si tratta del prodotto scalare canonico
Perché il mio dubbio derivava proprio da questo, infatti diciamo che il nostro prodotto scalare è dato da $ \langle v|w \rangle = w^TSv $. Allora $ \langle v|Av \rangle = v^TA^TSv = v^TSAv = \langle Av|v \rangle $, che è semplicemente una verifica della simmetria del prodotto scalare, e anche usando l'antisimmetria di $A$ non vedo come arrivare a quanto riporta il testo.
Usando invece il prodotto scalare canonico, cioè $ S=I_n $, mi pare chiaro che si tratta di una question di "lettura", infatti si ha $ \langle Av|v \rangle =v^TAv= (Av)^Tv=v^T(A^Tv)=\langle A^Tv|v \rangle $
Usando invece il prodotto scalare canonico, cioè $ S=I_n $, mi pare chiaro che si tratta di una question di "lettura", infatti si ha $ \langle Av|v \rangle =v^TAv= (Av)^Tv=v^T(A^Tv)=\langle A^Tv|v \rangle $
Il testo potrebbe avere definito \(A^T\) come l'unica matrice che soddisfa
\[
\langle Ax | y \rangle = \langle x |A^T y\rangle .\]
Questa operazione coincide con la trasposizione ordinaria se e solo se \(\langle\cdot|\cdot\rangle\) è il prodotto scalare standard.
\[
\langle Ax | y \rangle = \langle x |A^T y\rangle .\]
Questa operazione coincide con la trasposizione ordinaria se e solo se \(\langle\cdot|\cdot\rangle\) è il prodotto scalare standard.
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