Matrici & combinazioni lineari

[Kashaman]

Prop 1 :Sia $A in M_(m,n)(\mathbb{K})$ , $B in M_(m,p)(\mathbb{K})$ allora $AB in M_(m,p)(\mathbb{K})$.
Inoltre $(AB)^(i)$ cioè l'i-sima riga di $AB$ è combinazione lineare delle righe di $B$ mediante i coefficienti dell'i-sima riga di $A$.

Fisso un $i in {1,.....,m}$. E considero l'i-esima riga di $AB$
Allora $(AB)^(i)=(\sum_(k=1)^na^i_kb^k_1 .... \sum_(k=1)^na^i_kb^k_p) = \sum_(k=1)^na^i_k * (b^k_1 b^k_2 ***** b^k_p) = \sum_(k=1)^na^i_k B^(k) = a^i_1B^1+a^i_2B^2+....+a^i_nB^n $ la tesi

Prop 2 :
$AA A=(a^i_j) in M_(m,n)(\mathbb{K})$ , $AA B=(b^i_j),C=(c^i_j) in M_(m,p)(\mathbb{K}$ si ha che $A(B+C)=AB+AC$

Si verifica facilmente che sia $A(B+C)$ che $AB+AC$ sono matrici di $M_(m,p)(\mathbb{K})$ e quindi dello stesso tipo. Mi resta da verificare che $AA i in {1,...,m} , j in {1,..,p}$ , $(A(B+C))^i_j=(AB+AC)^i_j$
Fisso $i,j$
Ho che
$ (AB+AC)^i_j = ( \sum_(k=1)^na^i_kb^k_j + \sum_(k=1)^na^i_kc^k_j)^i_j = ${sfruttando la commutatività di + e la distributività del prodotto di $\mathbb{K}$ }$=(\sum_(k=1)^n a^i_k(b^k_j+c^k_j))^i_j=${per def di prodotto}$=(A(B+C))^i_j$

Può andar bene come dimostrazione? grazie

[Sk_Anonymous]

Io non mi ritrovo con le tue notazioni, ma ho intuito le idee, e mi paiono corrette.

[Kashaman]

non ti trovi conquesto tipo di notazione $(AB)^i_j$?
La i rappresenta le righe, j le colonne..
sperando nella tua corretta intuizione, grazie delirium!

[Sk_Anonymous]

Eh ecco, io di solito indico con \(\displaystyle a_{ij} \) l'elemento di posto \(\displaystyle (i,j) \), ove \(\displaystyle i=\text{n° della riga}, \quad j=\text{n° della colonna} \).
Di nuovo: a me pare tutto corretto; alla fine si tratta di semplici applicazioni di definizioni.