Matrici 3x2

[robs98]

Ciao, mi potreste aiutare a calcolare il rango della seguente matrice e risolvere i due sistemi lineari? Grazie.



$((3,-1),(2,6),(5,5))$

$\{(3x - y = 0),(2x + 6y = 1),(5x + 5y = 1):}$


$\{(3x - y = 0),(2x +6y = 1),(5x + 5y = 2):}$

[wall87]

tu non ci provi nemmeno? Il regolamento dice che almeno una tua soluzione la devi fornire o per lo meno indicare cosa non ti è chiaro.
Per trovare il rango di una matrice devi verificare che il suo determinante sia diverso da 0....

[matemos]

Per la prima puoi subito dedurre ad occhio che il rango non sara mai maggiore di 2, giusto? (perché?) Prova a fare qualche riduzione poi..

Per i sistemi, dato che mi pare sia nel contesto algebra lineare, potresti provare a impostare una matrice dei coefficienti associata e fare di nuovo delle riduzioni.

Che dici ?

[dissonance]

"wall87":
Per trovare il rango di una matrice devi verificare che il suo determinante sia diverso da 0....

Non proprio. Inoltre qui si parla di una matrice non quadrata e quindi non ha senso parlare di determinante.

[wall87]

"dissonance":Non proprio.

Forse ho generalizzato un po troppo; riproviamo.

Si definisce rango della matrice A, l’ordine più alto rispetto al quale esistono matrici quadrate estratte da A con determinante diverso da zero.

In questo caso abbiamo una matrice $3xx2$ e l'ordine più alto che possiamo estrarre da questa matrice è una matrice quadrata di dimensioni $2xx2$ e questa matrice ottenuta se il suo determinante è diverso da 0 avrà rango 2 altrimenti
sarà 1.
Concordi?

Comunque ci sono anche altri modi per stabilire il rango di una matrice...

[axpgn]

@mariacoretti
Come dice matemos, riduci a scalini che fai prima ... puoi ridurre tutte e tre le situazioni in una volta sola

[robs98]

Allora ho capito che il rango di questa matrice è 2 in quanto esiste una sottomatrice quadrata di ordine 2 il cui determinante è diverso da 0. Ora, osservando il sistema, noto che una riga è combinazione lineare delle altre ( la prima riga si ottiene sottraendo la seconda riga alla terza); arrivata a questo punto potrei risolvere il sistema formato da due equazioni? Se si, devo risolvere la seconda e la terza? Inoltre il risultato dei due sistemi deve essere uguale?

[axpgn]

Perché complicarsi la vita ?

$((3,-1,0,0),(2,6,1,1),(5,5,1,2))\ \ =>\ \ ((3,-1,0,0),(0,20,3,3),(0,20,3,6))\ \ =>\ \ ((3,-1,0,0),(0,20,3,3),(0,0,0,3))$

Da qui si vede che la matrice dei coefficienti ha rango $2$, la matrice completa del primo sistema ha rango $2$ (e quindi ha soluzione), la matrice completa del secondo sistema ha rango $3$ (e quindi non ha soluzione)