Matrici

[mtt2]

Ho urgente bisogno di risolvere questo quesito di geometria I:
n>=3 dispari n naturale;
dimostrare che non esiste nessuna matrice quadrata nxn a coefficienti in R tale che
MM+I=0 dove I è la matrice identità.

[Principe2]

non c'è alcun motivo di assumere la disparità di $n$. Per assurdo la tesi sia vera, passando
ai determinanti e applicando Binet si avrebbe $det(M)^2+1=0$ che è falso (a patto che i
coefficienti siano reali)

[mtt2]

Quindi in generale det(axb+c)=det(a).det(b)+det(c)? non esiste nessuna altra dimostrazione che includa l'ipotesi di disparità?

[Camillo]

Attenzione : $det (a+b) ne det a +det b $.

[mtt2]

appunto! allora per la soluzione del problema come faccio a ritrovarmi in una somma di quadrati?

[Fioravante Patrone1]

la matrice (2 per 2):

$ 0 \ \ \ -1$
$ 1 \ \ \ 0$

mi pare sia tale che $M^2 = -I$

questo spiega perché si vuole $k$ dispari

[mtt2]

giustissimo, però non ho capito come si arriva a dire che det(axb+c)=det(axb)+det(c), visto che det(a+b) non è det(a)+det(b)...

[Fioravante Patrone1]

si dev'essere trattato di una svista di ubermensch

[Principe2]

ho flashato (come si dice qua) che il determinante di $-I$ fosse sempre
-1... invece è -1 solo per $n$ dispari.

la soluzione (corretta e dettagliata) è:
da $M^2=-I$, passando ai determinanti e applicando Binet ($det(AB)=det(A)det(B)$),
si ha $det(M)^2=det(-I)= -1$ (per n dispari)
che è assurdo nel campo reale.