Matrici 2x4
Salve, sono una studentessa di biologia e mi tocca fare anche l'esame di matematica... solo che, non ci capisco nulla xD Io, oltre a studiare, lavoro... quindi non ho la possibilità di seguire sempre i corsi. Sono al secondo anno, ma l'esame di matematica è del primo... e da quando l'ho fatto l'ultima volta, sono cambiate un po' di cose. Vi spiego: nel compito, bisogna svolgere le matrici e solitamente usava mettere nel compito quelle 3x3 ed io mi sono molto allenata su quelle dalle prove d'esame precedenti. A febbraio, invece, mi son trovata una 2x4 e non sapevo da dove cominciare. Se inserisco l'esercizio che mi è stato richiesto, mi aiutate a capire quali passaggi devo fare per svolgere l'esercizio? 
Dunque, l'esercizio era così strutturato:
$ A= {: (( 1 , 3 , 2 , -1 ),( 2 , k , 4 , -2 )) :} $ $ b={: ( {: ( 2 ),( 2 ) :} ) :} $
1)Dimostrare se esiste un unico valore di k per cui A*x=b è incompatibile.
2)trovare le soluzioni del sistema per i rimanenti valori di k.
3)indicare il codominio della funzione g(k)= rg(A)
Mi aiutereste a risolverlo in modo tale da seguire poi l'esempio ed esercitarmi con le altre prove (che comunque non hanno soluzioni) ?
Dunque, l'esercizio era così strutturato:
$ A= {: (( 1 , 3 , 2 , -1 ),( 2 , k , 4 , -2 )) :} $ $ b={: ( {: ( 2 ),( 2 ) :} ) :} $
1)Dimostrare se esiste un unico valore di k per cui A*x=b è incompatibile.
2)trovare le soluzioni del sistema per i rimanenti valori di k.
3)indicare il codominio della funzione g(k)= rg(A)
Mi aiutereste a risolverlo in modo tale da seguire poi l'esempio ed esercitarmi con le altre prove (che comunque non hanno soluzioni) ?
Risposte
Buona sera
proponi qualche soluzione, così possiamo discuterne...
proponi qualche soluzione, così possiamo discuterne...
Ciao 
Vediamo se un po' di maieutica aiuta
Secondo te il vettore $x$ quante componenti ha? (Quanto è lungo?)
Vediamo se un po' di maieutica aiuta Secondo te il vettore $x$ quante componenti ha? (Quanto è lungo?)
Ne ha 4
Se applichi il vettore generico alla matrice ottieni:
$(( 1 , 3 , 2 , -1 ),( 2 , k , 4 , -2 ))((x),(y),(z),(t))=((x+3y+2z-t),(2x+ky+4z-2t))=((2),(2))$
Non ti resta che risolvere:
$\{(x+3y+2z-t=2),(2x+ky+4z-2t=2):}$
Se tu togliessi due volte la prima riga dalla seconda, cosa succederebbe?
$(( 1 , 3 , 2 , -1 ),( 2 , k , 4 , -2 ))((x),(y),(z),(t))=((x+3y+2z-t),(2x+ky+4z-2t))=((2),(2))$
Non ti resta che risolvere:
$\{(x+3y+2z-t=2),(2x+ky+4z-2t=2):}$
Se tu togliessi due volte la prima riga dalla seconda, cosa succederebbe?
Io applicherei il metodo di Gaus alla matrice completa del sistema:
$ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 , 2 ),( 2 , k , 4 , -2 , 2 ) ) $
ovvero moltiplicando per -2 la prima riga sommarla alla seconda si il sistema equivalente di matrice completa:
$ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , k-6 , 0 , 0 , -2 ) ) $
il Teroma di Capelli garantisce ora compatibilità del sistema se il rango delle matrici
$ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 ),( 0 , k-6 , 0 , 0 ) ) $, $ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , k-6 , 0 , 0 , -2 ) ) $
coincide.
Si vede allora che se il k=6 il sistema non ha soluzione e ciò lo dice Capelli perché in tal caso la prima ha rango 1 e la seconda ha rango 2.
Da qui la seconda domanda è facile e la terza banale.
Cordiali saluti
$ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 , 2 ),( 2 , k , 4 , -2 , 2 ) ) $
ovvero moltiplicando per -2 la prima riga sommarla alla seconda si il sistema equivalente di matrice completa:
$ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , k-6 , 0 , 0 , -2 ) ) $
il Teroma di Capelli garantisce ora compatibilità del sistema se il rango delle matrici
$ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 ),( 0 , k-6 , 0 , 0 ) ) $, $ ( ( 1 , 3 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , k-6 , 0 , 0 , -2 ) ) $
coincide.
Si vede allora che se il k=6 il sistema non ha soluzione e ciò lo dice Capelli perché in tal caso la prima ha rango 1 e la seconda ha rango 2.
Da qui la seconda domanda è facile e la terza banale.
Cordiali saluti
"Hatemate":
Mi aiutereste a risolverlo in modo tale da seguire poi l'esempio ed esercitarmi con le altre prove (che comunque non hanno soluzioni) ?
Riesci a completarlo ora?
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