Matrici
Avrei un po' di dubbi sulle matrici:
Quando una matrice si dice periodica?
Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli?
Cosa hanno di particolare (se lo hanno) gli autovalori di una matrice idempotente?
Grazie
Quando una matrice si dice periodica?
Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli?
Cosa hanno di particolare (se lo hanno) gli autovalori di una matrice idempotente?
Grazie
Risposte
(2) Una matrice si dice nilpotente quando una sua potenza di grado $n>=1$ é la matrice nulla. Gli autovalori sono necessariamente tutti 0.
(3) Indicando con $lambda_i$ gli autovalori di una matrice idempotente A si ha:
$lambda_i = 1$ se $i=1,2,...,ro(A)$
$lambda_i = 0$ se $i=rho(A)+1,...,p$
Essendo gli autovalori delle potenze di una matrice sono uguali alle potenze degli autovalori, essendo $A = A^2$, si deve avere $lambda_i=lambda_i^2$, per cui $lambda_i$ può essere solo 0 o 1.
(3) Indicando con $lambda_i$ gli autovalori di una matrice idempotente A si ha:
$lambda_i = 1$ se $i=1,2,...,ro(A)$
$lambda_i = 0$ se $i=rho(A)+1,...,p$
Essendo gli autovalori delle potenze di una matrice sono uguali alle potenze degli autovalori, essendo $A = A^2$, si deve avere $lambda_i=lambda_i^2$, per cui $lambda_i$ può essere solo 0 o 1.
Grazie per la risposta
Ho provato a svolgere questo esercizio:
Io ho risposto così:
1) No, dato che un autovalore è 0
2) L'unica vera è la d)
3) Non saprei...
4) Gli autovalori sono 0, jsqrt(3), -jsqrt(3), hanno tutti molteplicità algebrica 1 quindi anche la molteplicità geometrica è 1
5) Sì
6) Non è nilpotente né idempotente, non so se periodica
Che ne dite? Quello che ho fatto è corretto?
Ho provato a svolgere questo esercizio:
Io ho risposto così:
1) No, dato che un autovalore è 0
2) L'unica vera è la d)
3) Non saprei...
4) Gli autovalori sono 0, jsqrt(3), -jsqrt(3), hanno tutti molteplicità algebrica 1 quindi anche la molteplicità geometrica è 1
5) Sì
6) Non è nilpotente né idempotente, non so se periodica
Che ne dite? Quello che ho fatto è corretto?
Direi di si! Scusami, ma con $A^t$ cosa denoti? La trasposta?
Sì, con A^t denoto la trasposta.
Dato che ci sono chiedo un'ultima cosa su 'sta roba:
se f è un'applicazione lineare invertibile denotata con la matrice A, l'applicazione f^-1 è denotata con la matrice A^-1?
Dato che ci sono chiedo un'ultima cosa su 'sta roba:
se f è un'applicazione lineare invertibile denotata con la matrice A, l'applicazione f^-1 è denotata con la matrice A^-1?
Intendi dire come viene denotata la matrice inversa di A? Se si, la matrice inversa di A viene denotata con $A^(-1)$. Una matrice quadrata A ammette inversa se e solo se $det(A)!=0$.
No intendevo un'altra cosa:
sia f un'applicazione lineare f : R^n --> R^m
allora questa applicazione è rappresentata da una matrice A di ordine mxn.
Se la funzione è invertibile allora esiste f^(-1)
Qual è la matrice che rappresenta l'applicazione f^(-1)? È semplicemente A^(-1) ?
sia f un'applicazione lineare f : R^n --> R^m
allora questa applicazione è rappresentata da una matrice A di ordine mxn.
Se la funzione è invertibile allora esiste f^(-1)
Qual è la matrice che rappresenta l'applicazione f^(-1)? È semplicemente A^(-1) ?
Si. Se A è la matrice associta ad un isomorfismo f, allora la matrice A è invertibile e la sua matrice inversa $A^(-1)$ è la matrice associata ad $f^(-1)$.
Per la periodicità di una matrice:
Una matrice quadrata $A$ tale che $A^(k+1)=A$ per k intero positivo è chiamata matrice periodica. Ovviamente se $k=1$, allora $A^2=A$ la matrice è chiamata idempotente.
Una matrice quadrata $A$ tale che $A^(k+1)=A$ per k intero positivo è chiamata matrice periodica. Ovviamente se $k=1$, allora $A^2=A$ la matrice è chiamata idempotente.
Ok, grazie mille leonardo 
Ho notato che in questo caso A^5 = 9A
Questo non basta a dire che A è periodica?
Questo non basta a dire che A è periodica?
Per la definizione data di matrice periodica no. In quanto se, come in questo caso, $k=4$, risulta che $A^5!=A$.
Si può aggiungere anche che la matrice A è una matrice singolare, perchè è una matrice quadrata con determinante pari a zero.
Ok grazie
"Tipper":
Ho notato che in questo caso A^5 = 9A
Questo non basta a dire che A è periodica?
Questo post mi ha condotto ha fare "un'indagine" che verificasse se questa proprietà era vera per altre coppie di valori.
Per ogni numero nella forma $n=2k+1$ con $k in NN$, cioè un numero dispari, si ha che $A^n=z*A$, dove z è in forma $+-3^k$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo