Matrice Unitaria

[fra017]

scusate non mi tornano assolutamente i conti, io ho una matrice hermitiana B: $((4,6+2i),(6-2i,1))$. devo trovare una matrice unitaria tale che $C^-1BC$ sia una matrice diagonale. ho trovato il polinomio caratteristico della matrice e mi risulta: $\lambda^2-5\lambda-36$ dunque $\lambda_1=9,\lambda_2=-4$ gli autospazi relativi mi vengono: $V_\lambda_-1=span(((-6/8-2i/8),(1)))$ e $V_\lambda_9=span(((6/8+2i/8),(1)))$. li ho ortonormalizzati con grahm smidth ed ho ricavato la matrice C: $(((-3-i)/sqrt(26),(3+i)/sqrt(26)),(4/sqrt(26),4/sqrt(26)))$
ma non mi risulta unitaria...come mai? cioè viene l'1 sulla diagonale principale ma non gli zeri...

[fra017]

Up, non so calcolare la matrice unitaria!!

[ciampax]

I vettori che generano gli autospazi sono $v_{-4}=(-1/4(3+i),1),\ v_{9}=(2/5(3+i),1)$.

[fra017]

non mi tornano i calcoli. vabbe ti rigiro la domanda in un altro modo allora: quando scrivo la matrice ortogonale fatta di autovettori ortonormali che diagonalizza...è sempre unitaria?

[ciampax]

Come non ti tornano i calcoli? Se tu cerchi gli autovalori con il polinomio caratteristico

[tex]$p(\lambda)=\det\left(\begin{array}{ccc}
4-\lambda & & 6+2i\\ & & \\ 6-2i & & 1-\lambda
\end{array}\right)=\lambda^2-5\lambda-36$[/tex]

essi sono $\lambda=-4,\ \lambda=9$ per cui, per determinare gli autospazi, dovrai risolvere i sistemi

[tex]$V_{-4}:\ \left(\begin{array}{ccc}
8 & & 6+2i\\ & & \\ 6-2i & & 5
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0\end{array}\right),\qquad
V_9:\ \left(\begin{array}{ccc}
-5 & & 6+2i\\ & & \\ 6-2i & & -8
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0\end{array}\right)$[/tex]

le cui soluzioni sono [tex]v_{-4}=\left(-\frac{1}{4}(3+i),1\right),\ v_9=\left(\frac{2}{5}(3+i),1\right)$[/tex]

Ciò che hai sbagliato è la determinazione degli autospazi. Rifai i conti e poi procedi nuovamente con l'ortonormalizzazione.