Matrice trasformazione lineare

[Vsc1]

Salve a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare (rispetto le basi canoniche) la matrice della tras. lineare $f: RR^4 \to RR^2$ che manda $(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,-1,1),(1,0,0,0)$ su $(3,2),(1,-1),(5,-2),(1,1)$
Presumendo che procedo nella maniera corretta alla fine ottengo questa matrice $((-1,-1),(-8,-2),(4,3),(9,1))$ solo che la soluzione è la matrice trasposta di questa, potrei fare ogni volta la traposta ma vorrei capire il perchè. Qualcuno mi aiuta a capire?
Grazie in anticipo

[21zuclo]

prova a scrivere il tuo procedimento.. così vediamo gli errori dove stanno

comunque.. tieni presente che se hai $ f\in Hom(RR^4;RR^2) $

bé te lo dico in generale..hai $ f\in Hom(RR^n;RR^m) $

allora avrai una matrice nella forma $ m xx n $

Proprio posta i tuoi passaggi così vediamo gli errori ..

[garnak.olegovitc1]

@Vsc,

"Vsc":Salve a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare (rispetto le basi canoniche) la matrice della tras. lineare $f: RR^4 \to RR^2$ che manda $(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,-1,1),(1,0,0,0)$ su $(3,2),(1,-1),(5,-2),(1,1)$
Presumendo che procedo nella maniera corretta alla fine ottengo questa matrice $((-1,-1),(-8,-2),(4,3),(9,1))$ solo che la soluzione è la matrice trasposta di questa, potrei fare ogni volta la traposta ma vorrei capire il perchè. Qualcuno mi aiuta a capire?
Grazie in anticipo

che testo usi? Tempo fa ricordo di una simile questione (appena riesco a trovarla la posto).. cmq penso sia una comodità dell'autore, sempre se ho capito bene!

Saluti

P.S.=Ho trovato il post, mi sembra simile a questo: viewtopic.php?f=37&t=125603&hilit=+trasposta

[Vsc1]

"21zuclo":prova a scrivere il tuo procedimento.. così vediamo gli errori dove stanno

comunque.. tieni presente che se hai $ f\in Hom(RR^4;RR^2) $

bé te lo dico in generale..hai $ f\in Hom(RR^n;RR^m) $

allora avrai una matrice nella forma $ m xx n $

Proprio posta i tuoi passaggi così vediamo gli errori ..

$v_1=(1,0,1,0) \to w_1=(3,2)$
$v_2=(0,1,0,1) \to w_2=(1,-1)$
$v_3=(0,0,-1,1) \to w_3=(5,-2)$
$v_4=(-1,0,0,0) \to w_4=(1,1)$

$c_1,c_2,c_3,c_4$ è la base canonica
quindi:
$v_1=c_1+_c_3 \to f(v_1)=f(c_1)+f(c_3)=w_1$
$v_2=c_2+_c_4 \to f(v_2)=f(c_2)+f(c_4)=w_2$
$v_3=-c_3+_c_4 \to f(v_3)=-f(c_3)+f(c_4)=w_3$
$v_4=-c_1 \to f(v_4)=-f(c_1)=w_4$

$f(c_1)=-w_4=(-1,-1)$
$f(c_3)=w_1-f(c_1)=(4,3)$
$f(c_4)=w_3+f(c_3)=(9,1)$
$f(c_2)=w_2-f(c_4)=(-8,-2)$

$((f(c_1)),(f(c_2)),(f(c_3)),(f(c_4)))$

[Vsc1]

"garnak.olegovitc":@Vsc,

[quote="Vsc"]Salve a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare (rispetto le basi canoniche) la matrice della tras. lineare $f: RR^4 \to RR^2$ che manda $(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,-1,1),(1,0,0,0)$ su $(3,2),(1,-1),(5,-2),(1,1)$
Presumendo che procedo nella maniera corretta alla fine ottengo questa matrice $((-1,-1),(-8,-2),(4,3),(9,1))$ solo che la soluzione è la matrice trasposta di questa, potrei fare ogni volta la traposta ma vorrei capire il perchè. Qualcuno mi aiuta a capire?
Grazie in anticipo

che testo usi? Tempo fa ricordo di una simile questione (appena riesco a trovarla la posto).. cmq penso sia una comodità dell'autore, sempre se ho capito bene!

Saluti

P.S.=Ho trovato il post, mi sembra simile a questo: viewtopic.php?f=37&t=125603&hilit=+trasposta[/quote]
è un vecchio compito d'esame, comunque da quanto ho capito dovrei considerare i vettori come colonna o no?

[garnak.olegovitc1]

@Vsc,

"Vsc":
è un vecchio compito d'esame, comunque da quanto ho capito dovrei considerare i vettori come colonna o no?

per me la def. è una, ovvero per colonna metto le coordinate (rispetto alla base del codominio) delle immagini degli elementi della base del dominio... nel tuo caso quindi, e per me, sarebbe giusto scrivere $M_{(e,e)}(f):=|| ( -1 , 4 , 9 , -8 ),( -1 , 3 , 1 , -2 ) || $, con $e={c_1,c_2,c_3,c_3}$, poi dipende da come vede (il testo o gli autori, o il tuo docente anche) i vettori di \( K^n \), come vettori colonna o come vettori riga? O magari il testo dice di calcolarti la trasposta $M_{(e,e)}(f)$?
Saluti

[Vsc1]

"garnak.olegovitc":@Vsc,

[quote="Vsc"]
è un vecchio compito d'esame, comunque da quanto ho capito dovrei considerare i vettori come colonna o no?

per me la def. è una, ovvero per colonna metto le coordinate (rispetto alla base del codominio) delle immagini degli elementi della base del dominio... nel tuo caso quindi, e per me, sarebbe giusto scrivere $M_{(e,e)}(f):=|| ( -1 , 4 , 9 , -8 ),( -1 , 3 , 1 , -2 ) || $, con $e={c_1,c_2,c_3,c_3}$, poi dipende da come vede (il testo o gli autori, o il tuo docente anche) i vettori di \( K^n \), come vettori colonna o come vettori riga? O magari il testo dice di calcolarti la trasposta $M_{(e,e)}(f)$?
Saluti[/quote]
nono il testo è proprio come ho scritto... grazie mille

[garnak.olegovitc1]

@ciromario,

"ciromario":Non capisco come siano stati fatti i calcoli ma mi viene una matrice del tutto diversa:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&-6&2&7\\1&0&1&-1\end{pmatrix} \)

non ho controllato i calcoli..... speravo che @Vsc li avesse fatti giusti!

Saluti

[gugo82]

La matrice trovata da Vsc è sbagliata innanzitutto per motivi dimensionali, poiché la matrice associata ad un omomorfismo di \(\mathbb{R}^4\) in \(\mathbb{R}^2\) ha dimensioni \(2\times 4\), non \(4\times 2\)... Che poi anche i conti siano fatti male è un dettaglio.

Detti \(\mathbf{v}_1,\ldots ,\mathbf{v}_4\) i vettori assegnati in \(\mathbb{R}^4\), una volta constatato che essi formano una base di \(\mathbb{R}^4\), essi possono essere effettivamente usati per determinare univocamente l'applicazione lineare di cui nel testo dell'esercizio. Inoltre, dato che:
\[
\begin{split}
\mathbf{v}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3\\
\mathbf{v}_2 &= \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_4\\
\mathbf{v}_3 &= -\mathbf{e}_3 + \mathbf{e}_4\\
\mathbf{v}_4 &= \mathbf{e}_1
\end{split}
\]
per linearità di \(f\) si trova:
\[
\begin{split}
f(\mathbf{e}_1) &= f(\mathbf{v}_4) = (1,1)\\
f(\mathbf{e}_3) &= f(\mathbf{v}_1) - f(\mathbf{e}_1) = (2,1)\\
f(\mathbf{e}_4) &= f(\mathbf{v}_3) + f(\mathbf{e}_3) = (7,-1)\\
f(\mathbf{e}_2) &= f(\mathbf{v}_2) - f(\mathbf{e}_4) = (-6,0)
\end{split}
\]
ergo la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche è:
\[
A := \begin{pmatrix} 1 & -6 & 2 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\; .
\]

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Il thread è stato bloccato per le continue intemperanze dell'utente ciromario.

Gli utenti interessati a farlo riaprire sono pregati di conttatare i moderatori della stanza in PM.

Inoltre, si consiglia vivamente all'utenza tutta di ignorare qualsiasi attività dell'utente ciromario (eventualmente, usando anche l'apposita opzione Gestione Ignorati del "Pannello di Controllo Utente") fintantoché egli non capirà che alcuni comportamenti su questo forum non sono più tollerati.[/xdom]

[gugo82]

Rispondo in pubblico ad un PM.

"Vsc":Salve,
volevo parlarle riguardo a questa discussione:
viewtopic.php?f=37&t=130942
Innanzitutto i messaggi di ciromario nemmeno li ho considerati, poichè ho visto anche in altri trhead che scriveva cavolate.

[xdom="gugo82"]Ma di ciò io non posso e non devo tenere conto.
Se una regola viene violata (in maniera sistematica, tra l'altro), i moderatori devono prendere provvedimenti proprio per non cadere nelle storture che ciromario segnalava in alcuni suoi OT (le quali, alla lunga, logorano il clima di civiltà che vige su questo forum e fuori di esso).[/xdom]

"Vsc":Poi riguardo la mia richiesta purtroppo non ho ancora capito perchè si ottiene una matrice 2x4 e i calcoli che lei ha fatto perchè comunque la soluzione data nell'esercizio è la matrice trasposta a quella da me ottenuta, se mi può dare questi chiarimenti o via mp o riaprendo il thread mi aiuterebbe tanto, la ringrazio in anticipo.
Buona Giornata

Un fatto base della teoria è il seguente teorema di rappresentazione:

Siano \(\mathbb{V}\), \(\mathbb{W}\) due spazi vettoriali reali (tanto per non complicare inutilmente le cose) di dimensioni \(n\) ed \(m\) rispettivamente, ed \(f:\mathbb{V} \to \mathbb{W}\) un'applicazione lineare.
Fissate una base \(B=\{\mathbf{e}_1,\ldots , \mathbf{e}_n\}\) in \(\mathbb{V}\) ed una base \(B^\prime =\{\mathbf{e}_1^\prime ,\ldots , \mathbf{e}_m^\prime \}\) in \(\mathbb{W}\), esiste un'unica matrice \(F\in \mathbb{M}_{m\times n}\) tale che:
\[
\forall \mathbf{v}\in \mathbb{V},\quad c_{B^\prime} (f(\mathbf{v})) = F\cdot c_B^t (\mathbf{v})\; ,
\]
cioé tale che le coordinate del vettore \(f(\mathbf{v})\in \mathbb{W}\) rispetto alla base \(B^\prime\) (denotate col simbolo \(c_{B^\prime} (f(\mathbf{v}))\)) si ottengono moltiplicando per \(F\) le coordinate del vettore \(\mathbf{v}\in \mathbb{V}\) rispetto alla base \(B\) (denotate col simbolo \(c_B (\mathbf{v})\))[nota]Rappresentando i vettori numerici come righe, uso \(^t\) per denotare i vettori trasposti, cioé i vettori colonna.[/nota].

In particolare, la matrice \(F\) è quella che ha per colonne i vettori delle coordinate rispetto alla base \(B^\prime\) dei vettori \(f(\mathbf{e}_1), \ldots , f(\mathbf{e}_n)\), cioé:
\[
F= \begin{pmatrix} c_{B^\prime}^t (f(\mathbf{e}_1)) ;& c_{B^\prime}^t (f(\mathbf{e}_2)) ;&\cdots ;& c_{B^\prime}^t (f(\mathbf{e}_n)) \end{pmatrix}\; .
\]

Un altro fatto assai importante della teoria è il seguente teorema di esistenza ed unicità:

Siano \(\mathbb{V}\), \(\mathbb{W}\) due spazi vettoriali reali (tanto per non complicare inutilmente le cose) di dimensioni \(n\) ed \(m\) rispettivamente.
Comunque si fissi una base \(B = \{\mathbf{e}_1, \ldots ,\mathbf{e}_n\}\) in \(\mathbb{V}\) e comunque si scelgano altrettanti vettori \(\mathbf{w}_1,\ldots ,\mathbf{w}_n \in \mathbb{W}\), esiste un'unica applicazione lineare \(f:\mathbb{V}\to \mathbb{W}\) tale che:
\[
f(\mathbf{e}_i) = \mathbf{w_i}\qquad \text{per } i=1,\ldots ,n\; .
\]

Veniamo alla soluzione dell'esercizio.

1. Interpretazione del testo:

Nel tuo caso, l'esercizio ti chiede di fissare in dominio e codominio della \(f\), cioé in \(\mathbb{R}^4\) ed in \(\mathbb{R}^2\), le basi canoniche, i.e.:
\[
\tag{1}
\begin{split}
C &= \{(1,0,0,0),\ (0,1,0,0),\ (0,0,1,0),\ (0,0,0,1)\}\\
C^\prime &= \{(1,0),\ (0,1)\}\; ;
\end{split}
\]
inoltre, l'esercizio ti fornisce un insieme di vettori:
\[
\tag{2}
B=\{ (1,0,1,0),\ (0,1,0,1),\ (0,0,-1,1),\ (1,0,0,0) \}
\]
del dominio ed altrettanti vettori:
\[
\tag{3}
(3,2),\ (1,-1),\ (5,-2),\ (1,1)
\]
del codominio, esplicitando che:
\[
\tag{4}
\begin{split}
f(1,0,1,0) &= (3,2)\\
f(0,1,0,1) &= (1,-1)\\
f(0,0,-1,1) &= (5,-2)\\
f(1,0,0,0) &= (1,1)\; .
\end{split}
\]
In queste ipotesi, ti viene chiesto di determinare la matrice \(F\) associata ad \(f\) rispetto alle basi canoniche.

2. Soluzione (extended version):

Per la risoluzione, innanzitutto, bisogna notare che un'applicazione \(f\) che soddisfi la (4) esiste ed è unica: infatti, l'insieme \(B\subseteq \mathbb{R}^4\) assegnato in (2) è una base di \(\mathbb{R}^4\) e perciò il teorema di esistenza ed unicità è applicabile.

Forte del fatto che \(f\) esiste, puoi affermare che l'esercizio ha senso ed puoi effettivamente tentare di determinare la matrice \(F\) associata ad \(f\) rispetto alle basi \(C\) e \(C^\prime\), la cui esistenza ed unicità sono garantite dal teorema di rappresentazione; dato che \(f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2\), la matrice \(F\) ha necessariamente dimensioni \(2\times 4\).

Dallo stesso teorema di rappresentazione segue che la matrice \(F\) deve essere costruita determinando i quattro vettori \(c_{C^\prime} (f(1,0,0,0))\), \(c_{C^\prime} (f(0,1,0,0))\), \(c_{C^\prime} (f(0,0,1,0))\), \(c_{C^\prime} (f(0,0,0,1))\).
Tuttavia, dai dati del problema, non hai la più pallida idea di come siano fatti i vettori \(f(1,0,0,0)\), \(f(0,1,0,0)\), \(f(0,0,1,0)\), \(f(0,0,0,1)\), quindi devi industriarti a ricavarli dai dati che ti sono forniti.
Per fare ciò serve solamente un po' di "occhio" e serve saper giocare con le proprietà di linearità dell'applicazione \(f\).
Invero, guardando come sono fatti gli elementi dell'insieme \(B\) assegnato in (3), hai:
\[
\begin{split}
(1,0,1,0) &= (1,0,0,0) + (0,0,1,0)\\
(0,1,0,1) &= (0,1,0,0) + (0,0,0,1)\\
(0,0,-1,1) &= -(0,0,1,0) + (0,0,0,1)
\end{split}
\]
mentre il quarto vettore di \(B\) è uguale al primo vettore di \(C\); dalle proprietà di linearità di \(f\) segue:
\[
\tag{5}
\begin{split}
f(1,0,1,0) &= f(1,0,0,0) + f(0,0,1,0)\\
f(0,1,0,1) &= f(0,1,0,0) + f(0,0,0,1)\\
f(0,0,-1,1) &= - f(0,0,1,0) + f(0,0,0,1)
\end{split}
\]
mentre dall'uguaglianza tra il primo elemento di \(C\) ed il quarto di \(B\) e dall'ultima delle (4) segue:
\[
\tag{6}
f(1,0,0,0) = (1,1)\; ;
\]
l'informazione (6), messa insieme alla prima delle (5) ed alla prima delle (4), importa:
\[
\tag{7}
\begin{split}
f(0,0,1,0) &= f(1,0,1,0) - f(1,0,0,0)\\
&= (3,2) - (1,1)\\
&= (2,1)\; ;
\end{split}
\]
la (7), insieme alla terza delle (5) ed alla terza delle (4), implica:
\[
\tag{8}
\begin{split}
f(0,0,0,1) &= f(0,0,-1,1) + f(0,0,1,0)\\
&= (5,-2) + (2,1)\\
&= (7,-1)\; ;
\end{split}
\]
infine, dalla (8), con la rimanente delle (5) e la rimanente delle (4), segue:
\[
\tag{9}
\begin{split}
f(0,1,0,0) &= f(0,1,0,1) - f(0,0,0,1)\\
&= (1,-1) - (7,-1)\\
&= (-6,0)\; .
\end{split}
\]
Dalle (6) - (9) segue che hai determinato i vettori \(f(1,0,0,0)\), \(f(0,1,0,0)\), \(f(0,0,1,0)\), \(f(0,0,0,1)\); e dalle proprietà della base canonica[nota]In particolare dal fatto che la base canonica \(C\) è l'unica base di \(\mathbb{R}^k\) in cui il vettore \(c_C(\mathbf{u})\) (delle coordinate di \(\mathbf{u}\in \mathbb{R}^k\) rispetto a \(C\)) coincide con il vettore numerico \(\mathbf{u}\).[/nota] segue che:
\[
\begin{split}
c_{C^\prime} (f(1,0,0,0)) &= f(1,0,0,0) = (1,1)\\
c_{C^\prime} (f(0,1,0,0)) &= f(1,0,0,0) = (-6,0)\\
c_{C^\prime} (f(0,0,1,0)) &= f(1,0,0,0) = (2,1)\\
c_{C^\prime} (f(0,0,0,1)) &= f(1,0,0,0) = (7,-1)
\end{split}
\]
dunque, per il teorema di rappresentazione, si ha:
\[
\begin{split}
F &= \begin{pmatrix} c_{C^\prime}^t (f(1,0,1,0)) ;& c_{C^\prime}^t (f(0,1,0,1)) ;& c_{C^\prime}^t (f(0,0,-1,1)) ;& c_{C^\prime}^t (f(1,0,0,0)) \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix} 1 & -6 & 2 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\; ,
\end{split}
\]
che è il risultato corretto dell'esercizio (ammesso e non concesso che il testo dell'esercizio sia riportato fedelmente).

3. Verifica:

Per rendersi conto della correttezza del risultato, basta fare una veloce verifica: ad esempio, si ha:
\[
\begin{split}
F\cdot c_C^t(1,0,1,0) &= \begin{pmatrix} 1 & -6 & 2 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
&= (3,2)\\
&= f(1,0,1,0)\\
&= c_{C^\prime} (f(1,0,1,0))
\end{split}
\]
ed analoga verifica si può fare per tutti gli altri vettori di \(B\); quindi la matrice trovata è proprio quella che l'esercizio chiedeva di determinare.