Matrice transizione coordinate e jacobiana
Ciao, amici! Sto studiando sul Sernesi, Geometria II, le transizioni da un sistema di coordinate locali ad un altro in uno spazio tangente di una varietà differenziabile.
So che la matrice grazie a cui si passa dalla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\) è della forma \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\) (indico con $j$ la colonna e con $i$ la riga). D'altra parte so che la jacobiana in $p$ di un morfismo di varietà differenziabili $f:X\to Y$, con coordinate locali rispettivamente \(\{x_1,...,x_n\}\) e \(\{y_1,...,y_n\}\), in un intorno di $p$ è \(J_f (p)=\Big(\Big(\frac{\partial (y_i·f)}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)\).
Vorrei chiedere se la seguente conclusione che ne traggo è corretta: mi sono convinto che, quindi, la matrice di passaggio dalla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\) è l'inversa della trasposta della jacobiana dell'identità di $X$ su se stesso con coordinate \(\{x_1,...,x_n\}\) per il dominio $X$ e \(\{y_1,...,y_n\}\) per il codominio $X$, cioè sono arrivato alla conclusione che \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)=\Big(\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)^\text{T}\Big)^{-1} \) (uso l'esponente \(\text{T}\) per la trasposta). Giusto?
E, chiamando \(\varphi_U:U\to\mathbb{R}^n\) l'applicazione le cui funzioni coordinate sono \(x_1,...,x_n\) e \(\varphi_V:V\to\mathbb{R}^n\) quella che ha per funzioni coordinate \(y_1,...,y_n\), e \((U,\varphi_U)\) e \((V,\varphi_V)\) le due corrispondenti carte dell'atlante differenziabile di $X$, con \(p\in U\cap V\), detta \(u_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) la funzione che ha per immagine di un'$n$-upla l'$i$-esima componente dell'$n$-upla, credo proprio che\[\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}=\frac{\partial (u_i·\varphi_V·\varphi_U^{-1})}{\partial u_j} \varphi_U(p)\]dove \(\frac{\partial}{\partial u_j}\) rappresenta la derivazione parziale consueta come utilizzata in analisi, e quindi mi sembra che \(\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)\) sia proprio la jacobiana* \(J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\mathbf{p})\) (con \(\mathbf{p}=\varphi_U(p)\)) della funzione in $n$ variabili reali \((\varphi_V·\varphi_U^{-1}):\varphi_U(U\cap V)\to\mathbb{R}^n\). Giusto?
Quindi direi che la matrice di transizione dalle coordinate \(\{x_i\}\) a quelle \(\{y_i\}\) sia, continuando ad usare le stesse notazioni,\[\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)=((J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\mathbf{p}))^\text{T})^{-1}\]
...o no?
Me ne sono convinto anche perché mi sembra che sia questa l'idea di come il Sernesi dimostra l'orientabilità di ogni superficie di Riemann...
\(\aleph_1\) grazie a chiunque vorrà aiutarmi con conferme o smentite in una questione che trovo estremamente importante, ma non esplicitata dal mio testo che, come autodidatta, è con questo forum la mia praticamente unica fonte.
P.S.: Non "spaventatevi" (in realtà, se non mi spavento io, un autodidatta in mezzo a matematici e studenti in gambissima, che fino a pochi giorni fa non sapevo neanche che un vettore tangente potesse essere un'applicazione con un insieme di funzioni differenziabili come dominio e \(\mathbb{R}\) per codominio...) per la lunghezza del messaggio: ho scritto molto solo per maggior chiarezza: si tratta di argomenti che il Sernesi tratta in poche formule alle pp. 191, 194 e 198.
*[size=85]calcolata, com'è credo consueto, utilizzando come carta l'identità, o restrizioni di essa, in \({\mathbb{R}^n}\).[/size]
So che la matrice grazie a cui si passa dalla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\) è della forma \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\) (indico con $j$ la colonna e con $i$ la riga). D'altra parte so che la jacobiana in $p$ di un morfismo di varietà differenziabili $f:X\to Y$, con coordinate locali rispettivamente \(\{x_1,...,x_n\}\) e \(\{y_1,...,y_n\}\), in un intorno di $p$ è \(J_f (p)=\Big(\Big(\frac{\partial (y_i·f)}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)\).
Vorrei chiedere se la seguente conclusione che ne traggo è corretta: mi sono convinto che, quindi, la matrice di passaggio dalla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\) è l'inversa della trasposta della jacobiana dell'identità di $X$ su se stesso con coordinate \(\{x_1,...,x_n\}\) per il dominio $X$ e \(\{y_1,...,y_n\}\) per il codominio $X$, cioè sono arrivato alla conclusione che \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)=\Big(\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)^\text{T}\Big)^{-1} \) (uso l'esponente \(\text{T}\) per la trasposta). Giusto?
E, chiamando \(\varphi_U:U\to\mathbb{R}^n\) l'applicazione le cui funzioni coordinate sono \(x_1,...,x_n\) e \(\varphi_V:V\to\mathbb{R}^n\) quella che ha per funzioni coordinate \(y_1,...,y_n\), e \((U,\varphi_U)\) e \((V,\varphi_V)\) le due corrispondenti carte dell'atlante differenziabile di $X$, con \(p\in U\cap V\), detta \(u_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) la funzione che ha per immagine di un'$n$-upla l'$i$-esima componente dell'$n$-upla, credo proprio che\[\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}=\frac{\partial (u_i·\varphi_V·\varphi_U^{-1})}{\partial u_j} \varphi_U(p)\]dove \(\frac{\partial}{\partial u_j}\) rappresenta la derivazione parziale consueta come utilizzata in analisi, e quindi mi sembra che \(\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)\) sia proprio la jacobiana* \(J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\mathbf{p})\) (con \(\mathbf{p}=\varphi_U(p)\)) della funzione in $n$ variabili reali \((\varphi_V·\varphi_U^{-1}):\varphi_U(U\cap V)\to\mathbb{R}^n\). Giusto?
Quindi direi che la matrice di transizione dalle coordinate \(\{x_i\}\) a quelle \(\{y_i\}\) sia, continuando ad usare le stesse notazioni,\[\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)=((J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\mathbf{p}))^\text{T})^{-1}\]
...o no?
Me ne sono convinto anche perché mi sembra che sia questa l'idea di come il Sernesi dimostra l'orientabilità di ogni superficie di Riemann...
\(\aleph_1\) grazie a chiunque vorrà aiutarmi con conferme o smentite in una questione che trovo estremamente importante, ma non esplicitata dal mio testo che, come autodidatta, è con questo forum la mia praticamente unica fonte.
P.S.: Non "spaventatevi" (in realtà, se non mi spavento io, un autodidatta in mezzo a matematici e studenti in gambissima, che fino a pochi giorni fa non sapevo neanche che un vettore tangente potesse essere un'applicazione con un insieme di funzioni differenziabili come dominio e \(\mathbb{R}\) per codominio...) per la lunghezza del messaggio: ho scritto molto solo per maggior chiarezza: si tratta di argomenti che il Sernesi tratta in poche formule alle pp. 191, 194 e 198.
*[size=85]calcolata, com'è credo consueto, utilizzando come carta l'identità, o restrizioni di essa, in \({\mathbb{R}^n}\).[/size]
Risposte
Dall'utilizzo che trovo esplicitamente fatto da parte del Prof. Sernesi qui dello jacobiano di \(\varphi_V·\varphi_U^{-1}\) per definire l'orientabilità di una superficie, invece che del determinante di \( \Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\) come fatto in Geometria II dallo stesso autore, visto che il derminante di una matrice è positivo se e solo se lo è il determinante dell'inversa della trasposta, mi sto convincendo sempre più che quello che ho scritto sopra è corretto... O sto dando i numeri?
Grazie di cuore per qualunque smentita o conferma!!!
Grazie di cuore per qualunque smentita o conferma!!!
Si si mi pare che vada bene, e comunque non e' molto importante perche', come hai ricordato tu, il determinante di una matrice e il determinante della trasposta sono poi la stessa cosa. Sono dettagli comunque, non ti cui fissare eccessivamente.
Adesso mi è completamente chiaro perché una superficie di Riemann è orientabile. \(\infty\) grazie!!!
Continuando nel mio studio del Sernesi trovo una formula secondo cui, dati due sistemi di coordinate locali coordinate locali \(\{x_1,...,x_n\}\) e \(\{y_1,...,y_n\}\) un vettore tangente (nella fattispecie si tratta di un vettore tangente \(\mathbf{v}=\mathbf{V}(p)\) definito da un campo vettoriale \(\mathbf{V}\)) di coordinate \(v_1,...,v_n\) rispetto alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) ha, rispetto alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\), coordinate \(w_1,...,w_n\) che soddisfano l'identità\[w_i=\sum_{j=1}^{n}v_j \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p).\]
Mi sono andato a rispolverare la recentemente da me studiata matrice di transizione dalle coordinate \(\{x_1,...,x_n\}\) alle coordinate \(\{y_1,...,y_n\}\), ottenuta dall'identità (p. 194 per chi abbia il mio stesso testo)\[\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p} \Big(\frac{\partial}{\partial x_j}\Big)_{p}.\]
Ora, dato che so che la matrice che rappresenta il cambio di coordinate da una base \(\boldsymbol v\) a un'altra base \(\boldsymbol w\) ha nella $j$-esima colonna le coordinate rispetto alla base \(\boldsymbol w\) del $j$-esimo vettore della base \(\boldsymbol v\), direi proprio che, piuttosto che con una matrice \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\), che mi sembrerebbe inequivocabilmente una matrice che ha sulla riga $i$ nella colonna $j$ il coefficiente \(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\), si passi dalle coordinate rispetto alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) a quelle rispetto a \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\) utilizzando invece la matrice (che credo si chiami matrice di transizione più appropriatamente di \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\)) che ha sulla riga $i$ nella colonna $j$ il coefficiente \(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\), cioè una matrice \[\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)=J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\mathbf{p})\] con \(\mathbf{p}=\varphi_U(p)\), con la notazione di sopra.
Suppongo quindi che sul mio testo ci sia un refusetto... Che ve ne pare?
Grazie di cuore di nuovo a tutti!!!
Mi sono andato a rispolverare la recentemente da me studiata matrice di transizione dalle coordinate \(\{x_1,...,x_n\}\) alle coordinate \(\{y_1,...,y_n\}\), ottenuta dall'identità (p. 194 per chi abbia il mio stesso testo)\[\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p} \Big(\frac{\partial}{\partial x_j}\Big)_{p}.\]
Ora, dato che so che la matrice che rappresenta il cambio di coordinate da una base \(\boldsymbol v\) a un'altra base \(\boldsymbol w\) ha nella $j$-esima colonna le coordinate rispetto alla base \(\boldsymbol w\) del $j$-esimo vettore della base \(\boldsymbol v\), direi proprio che, piuttosto che con una matrice \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\), che mi sembrerebbe inequivocabilmente una matrice che ha sulla riga $i$ nella colonna $j$ il coefficiente \(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\), si passi dalle coordinate rispetto alla base \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial x_n}\Big)_{p}\Big\}\) a quelle rispetto a \(\Big\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_1}\Big)_{p},...,\Big(\frac{\partial}{\partial y_n}\Big)_{p}\Big\}\) utilizzando invece la matrice (che credo si chiami matrice di transizione più appropriatamente di \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\)) che ha sulla riga $i$ nella colonna $j$ il coefficiente \(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\), cioè una matrice \[\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)=J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\mathbf{p})\] con \(\mathbf{p}=\varphi_U(p)\), con la notazione di sopra.
Suppongo quindi che sul mio testo ci sia un refusetto... Che ve ne pare?
Grazie di cuore di nuovo a tutti!!!
Mamma mia...
E chi se li fa tutti questi contazzi. Può essere benissi-missi-missimo che nel libro ci sia un refuso, comunque. Se ne sei convinto continua, non ti fermare su questi epsilon.
E chi se li fa tutti questi contazzi. Può essere benissi-missi-missimo che nel libro ci sia un refuso, comunque. Se ne sei convinto continua, non ti fermare su questi epsilon.
Le relazioni che propone il testo mi sembrano entrambe corrette.
Invero, se \( \mathbf{v} \in T_{p} M \) ha componenti \( (v_j) \) rispetto alla base associata alle coordinate \( (x_j) \) e ha componenti \( (w_i) \) rispetto alla base associata alle coordinate \( (y_i) \), allora si avrà:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^{n} w_i \frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p &= \mathbf{v} = \sum_{j=1}^{n} v_j \frac{\partial}{\partial x_j} \bigg |_p \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} v_j \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p) \frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p.
\end{split}
\]
Da qui, stante l'unicità della decomposizione in base, segue inequivocabilmente che
\[
w_i = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p) v_j.
\]
Ho utilizzato evidentemente che
\[
\frac{\partial}{\partial x_j} \bigg |_p = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p) \frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p,
\]
che è equivalente a
\[
\frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_j}{\partial y_i}(p) \frac{\partial}{\partial x_j} \bigg |_p.
\]
Buona geometria differenziale.
Invero, se \( \mathbf{v} \in T_{p} M \) ha componenti \( (v_j) \) rispetto alla base associata alle coordinate \( (x_j) \) e ha componenti \( (w_i) \) rispetto alla base associata alle coordinate \( (y_i) \), allora si avrà:
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^{n} w_i \frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p &= \mathbf{v} = \sum_{j=1}^{n} v_j \frac{\partial}{\partial x_j} \bigg |_p \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} v_j \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p) \frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p.
\end{split}
\]
Da qui, stante l'unicità della decomposizione in base, segue inequivocabilmente che
\[
w_i = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p) v_j.
\]
Ho utilizzato evidentemente che
\[
\frac{\partial}{\partial x_j} \bigg |_p = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p) \frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p,
\]
che è equivalente a
\[
\frac{\partial}{\partial y_i} \bigg |_p = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial x_j}{\partial y_i}(p) \frac{\partial}{\partial x_j} \bigg |_p.
\]
Buona geometria differenziale.
\(\aleph_1\) grazie a tutti e due, ragazzi!!! A dissonance per tutti i preziosi consigli e a s.stuv per ogni osservazione!
@s.stuv:
Anche a me tornano le tue identità. La perplessità sulla notazione del libro è che dice che la matrice di transizione dalla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) a quella \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\) è la matrice scritta \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\), notazione che, in sintonia con l'uso che trovo fatto sul testo stesso e usualmente nei i testi di matematica che mi sono capitati davanti, mi sembrerebbe suggerire una matrice
\[\begin{pmatrix} \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_1}\Big)_{p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_n}\Big)_{p} \end{pmatrix}.\]Invece a me, e anche ciò che scrivi tu mi sembra confermare la mia ipotesi, sembra piuttosto che la matrice di passaggio dalle coordinate rispetto alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) a quelle rispetto alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\) (che credo sia proprio quello che si intende con matrice di transizione dalla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\), o fraintendo la nomenclatura?) sia \[\begin{pmatrix} \Big(\frac{\partial y_1}{\partial x_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\Big)_{p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Big(\frac{\partial y_n}{\partial x_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial y_n}{\partial x_n}\Big)_{p} \end{pmatrix}\]per la quale non esiterei ad usare la notazione \(\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)\) (e che, detto per inciso, direi coincida con la jacobiana \(J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\varphi_U(p))\)).
La matrice di transizione dalla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\) alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) direi che invece sarebbe\[\begin{pmatrix} \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\Big)_{p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_n}\Big)_{p} \end{pmatrix}\]per la quale mi sembrerebbe appropriata la notazione \(\Big(\Big(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\Big)_{p}\Big)\).
Tutto questo mi sembra in sintonia con quanto osservi, giusto?
\(\aleph_2\) grazie...!
P.S.: Se sparo c***ate perdonatemi, ché sono ancora stordito dalla donazione di sangue di ieri, che ho insistito a fare nonostante l'ipotensione.
@s.stuv:
Anche a me tornano le tue identità. La perplessità sulla notazione del libro è che dice che la matrice di transizione dalla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) a quella \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\) è la matrice scritta \(\Big(\Big(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\Big)_{p}\Big)\), notazione che, in sintonia con l'uso che trovo fatto sul testo stesso e usualmente nei i testi di matematica che mi sono capitati davanti, mi sembrerebbe suggerire una matrice
\[\begin{pmatrix} \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_1}\Big)_{p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_n}\Big)_{p} \end{pmatrix}.\]Invece a me, e anche ciò che scrivi tu mi sembra confermare la mia ipotesi, sembra piuttosto che la matrice di passaggio dalle coordinate rispetto alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) a quelle rispetto alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\) (che credo sia proprio quello che si intende con matrice di transizione dalla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\), o fraintendo la nomenclatura?) sia \[\begin{pmatrix} \Big(\frac{\partial y_1}{\partial x_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\Big)_{p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Big(\frac{\partial y_n}{\partial x_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial y_n}{\partial x_n}\Big)_{p} \end{pmatrix}\]per la quale non esiterei ad usare la notazione \(\Big(\Big(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\Big)_{p}\Big)\) (e che, detto per inciso, direi coincida con la jacobiana \(J_{(\varphi_V·\varphi_U^{-1})}(\varphi_U(p))\)).
La matrice di transizione dalla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial y_i}\Big)_{p} \right\}\) alla base \(\left\{\Big(\frac{\partial}{\partial x_i}\Big)_{p} \right\}\) direi che invece sarebbe\[\begin{pmatrix} \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\Big)_{p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_1}\Big)_{p} & \cdots & \Big(\frac{\partial x_n}{\partial y_n}\Big)_{p} \end{pmatrix}\]per la quale mi sembrerebbe appropriata la notazione \(\Big(\Big(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\Big)_{p}\Big)\).
Tutto questo mi sembra in sintonia con quanto osservi, giusto?
\(\aleph_2\) grazie...!
P.S.: Se sparo c***ate perdonatemi, ché sono ancora stordito dalla donazione di sangue di ieri, che ho insistito a fare nonostante l'ipotensione.
Anzitutto, è un piacere provare a risolvere qualche problema... soprattutto quando si vede che la persona dall'altra parte lo fa con passione.
Ora, veniamo alle cose importanti. Forse (e sottolineo forse) ho capito dove sta l'inghippo. Andiamo con ordine. Chiamo \( M \) una varietà differenziabile liscia di dimensione \( n \), e sia \( p \in M \). Siano \( (U, \varphi) \) e \( (V, \psi) \) due carte in \( p \), e poniamo \( (x^i)_{i=1}^{n} := \varphi(p) \) e \( (y^j)_{j=1}^{n} = \psi(p) \). Discutiamo poi l'uso degli indici in alto. Evidentemente, ai due diversi sistemi di coordinate locali sono associate due basi diverse sullo spazio tangente \( T_p M \), e cioè
\[
(\mathbf{e}_i (p))_{i=1}^{n} = \bigg ( \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p \bigg )_{i=1}^{n}
\]
e
\[
(\mathbf{e}'_j (p))_{j=1}^{n} = \bigg ( \frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p \bigg )_{j=1}^{n}.
\]
Ora, quando diciamo che la matrice del cambiamento di base è la matrice
\[
\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )
\]
avente l'elemento \( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \) al posto corrispondente alla riga \(i\)-sima e alla colonna \(j\)-sima, stiamo esplicitamente dicendo che tra i vettori delle due basi sussiste la formula di trasformazione
\[
\frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p,
\]
sicché, come al solito, la matrice di cambiamento di base reca sulla \(j\)-sima colonna le componenti, rispetto alla base di partenza, del \(j\)-simo vettore della base di arrivo.
Quando poi decomponiamo un vettore \( \mathbf{v} \in T_p M \) rispetto alle due basi, dette come prima \( (v^i) \) le componenti rispetto alla base associata alle coordinate \( (x^i) \) e dette \( (w^j) \) le componenti rispetto alla base associata alle coordinate \( (y^j) \), rileviamo la formula di trasformazione
\[
w^j = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y^j}{\partial x^i}(p) v^i,
\]
nella quale interviene invece la matrice del cambiamento di coordinate inverso! Ed è esattamente così che funziona: nelle applicazioni meccaniche (classiche e/o relativistiche), e non so se sia d'uso comune anche tra i geometri, noi siamo soliti dire che i vettori della base si trasformano con legge di covarianza (facendo intervenire la matrice del cambiamento di base), laddove invece le componenti dei vettori si trasformano con legge di controvarianza (facendo intervenire la matrice inversa del cambiamento di base). Alle quantità che si trasformano per covarianza siamo soliti porre indici in basso, mentre a quelle che si trasformano per controvarianza poniamo indici in alto. Come potrai da solo constatare, le componenti di un covettore, cioè di un elemento del duale \( T^{*}_{p} M \), si trasformano con legge di covarianza, sicché l'accoppiamento di un covettore \( \omega \in T^{*}_{p} M \) con un vettore \( \mathbf{v} \in T_{p} M \) nella dualità in \( p \) si traduce in definitiva in
\[
<\omega, \mathbf{v}>_p = \omega_{i} v^{i},
\]
cioè nella saturazione dell'indice \(i\), che compare in alto quando riferito alle componenti (controvarianti) del vettore e in basso quando riferito alle componenti (covarianti) della 1-forma. Da qui nasce la convenzione di Einstein di omettere il simbolo di sommatoria su indici ripetuti, uno posto in alto e l'altro in basso!
Non so se ho risposto al quesito... Almeno, ci ho provato!
P.S.: In termini delle carte precedentemente introdotte, la matrice del cambiamento di base è evidentemente la (trasposta, mi sa) jacobiana \( D(\varphi \circle \psi^{-1})(\psi(p)) \), dove le mappe \( \varphi \) e \( \psi \) sono state preventivamente ristrette all'intersezione \( U \cap V \) al fine di renderle componibili.
Ora, veniamo alle cose importanti. Forse (e sottolineo forse) ho capito dove sta l'inghippo. Andiamo con ordine. Chiamo \( M \) una varietà differenziabile liscia di dimensione \( n \), e sia \( p \in M \). Siano \( (U, \varphi) \) e \( (V, \psi) \) due carte in \( p \), e poniamo \( (x^i)_{i=1}^{n} := \varphi(p) \) e \( (y^j)_{j=1}^{n} = \psi(p) \). Discutiamo poi l'uso degli indici in alto. Evidentemente, ai due diversi sistemi di coordinate locali sono associate due basi diverse sullo spazio tangente \( T_p M \), e cioè
\[
(\mathbf{e}_i (p))_{i=1}^{n} = \bigg ( \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p \bigg )_{i=1}^{n}
\]
e
\[
(\mathbf{e}'_j (p))_{j=1}^{n} = \bigg ( \frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p \bigg )_{j=1}^{n}.
\]
Ora, quando diciamo che la matrice del cambiamento di base è la matrice
\[
\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )
\]
avente l'elemento \( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \) al posto corrispondente alla riga \(i\)-sima e alla colonna \(j\)-sima, stiamo esplicitamente dicendo che tra i vettori delle due basi sussiste la formula di trasformazione
\[
\frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p,
\]
sicché, come al solito, la matrice di cambiamento di base reca sulla \(j\)-sima colonna le componenti, rispetto alla base di partenza, del \(j\)-simo vettore della base di arrivo.
Quando poi decomponiamo un vettore \( \mathbf{v} \in T_p M \) rispetto alle due basi, dette come prima \( (v^i) \) le componenti rispetto alla base associata alle coordinate \( (x^i) \) e dette \( (w^j) \) le componenti rispetto alla base associata alle coordinate \( (y^j) \), rileviamo la formula di trasformazione
\[
w^j = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y^j}{\partial x^i}(p) v^i,
\]
nella quale interviene invece la matrice del cambiamento di coordinate inverso! Ed è esattamente così che funziona: nelle applicazioni meccaniche (classiche e/o relativistiche), e non so se sia d'uso comune anche tra i geometri, noi siamo soliti dire che i vettori della base si trasformano con legge di covarianza (facendo intervenire la matrice del cambiamento di base), laddove invece le componenti dei vettori si trasformano con legge di controvarianza (facendo intervenire la matrice inversa del cambiamento di base). Alle quantità che si trasformano per covarianza siamo soliti porre indici in basso, mentre a quelle che si trasformano per controvarianza poniamo indici in alto. Come potrai da solo constatare, le componenti di un covettore, cioè di un elemento del duale \( T^{*}_{p} M \), si trasformano con legge di covarianza, sicché l'accoppiamento di un covettore \( \omega \in T^{*}_{p} M \) con un vettore \( \mathbf{v} \in T_{p} M \) nella dualità in \( p \) si traduce in definitiva in
\[
<\omega, \mathbf{v}>_p = \omega_{i} v^{i},
\]
cioè nella saturazione dell'indice \(i\), che compare in alto quando riferito alle componenti (controvarianti) del vettore e in basso quando riferito alle componenti (covarianti) della 1-forma. Da qui nasce la convenzione di Einstein di omettere il simbolo di sommatoria su indici ripetuti, uno posto in alto e l'altro in basso!
Non so se ho risposto al quesito... Almeno, ci ho provato!
P.S.: In termini delle carte precedentemente introdotte, la matrice del cambiamento di base è evidentemente la (trasposta, mi sa) jacobiana \( D(\varphi \circle \psi^{-1})(\psi(p)) \), dove le mappe \( \varphi \) e \( \psi \) sono state preventivamente ristrette all'intersezione \( U \cap V \) al fine di renderle componibili.
$\sum_{i=1}^{\infty}$grazie$\text{}_i$, s.stuv, veramente gentilissimo!
Che è una matrice tale che, se \(\mathbf{a}\in\mathbb{R}^n\) è l'$n$-upla delle coordinate di un vettore secondo la base \(\left\{\frac{\partial}{\partial y_i}(p)\right\}\), allora, moltiplicando la matrice per $\mathbf{a}$, il prodotto \(\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )\mathbf{a}\) è l'$n$-upla delle coordinate dello stesso vettore secondo la base \(\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\right\}\), ci sono?
Cioè \(\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )\) è ciò che si definisce matrice di transizione dalla base \(\left\{\frac{\partial}{\partial y_i}(p)\right\}\) alla base \(\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\right\}\): è corretto, dal punto di vista proprio del lessico?
Indicando con $u_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ la funzione che restituisce l'$i$-esima componente dell'$n$-upla delle coordinate, mi sembrerebbe che abbiamo
\[ \bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )=\begin{pmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}(p) & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n} (p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1}(p) & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n}(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial(u_1·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_1}(\psi(p)) & \cdots &\frac{\partial(u_1·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_n}(\psi(p)) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial(u_n·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_1}(\psi(p)) & \cdots & \frac{\partial(u_n·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_n}(\psi(p)) \end{pmatrix}\]
che mi sembrerebbe proprio la jacobiana (piuttosto che la trasposta) di \(\varphi·\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\to\mathbb{R}^n\) in \(\psi(p)\in\mathbb{R}^n\), o sto delirando?
Grazie di cuore ancora e buoni studi anche a te (la geometria differenziale è meravigliosa...)!!!!!!!!
"s.stuv":
Ora, quando diciamo che la matrice del cambiamento di base è la matrice
\[\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )\]
avente l'elemento \( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \) al posto corrispondente alla riga \(i\)-sima e alla colonna \(j\)-sima
Che è una matrice tale che, se \(\mathbf{a}\in\mathbb{R}^n\) è l'$n$-upla delle coordinate di un vettore secondo la base \(\left\{\frac{\partial}{\partial y_i}(p)\right\}\), allora, moltiplicando la matrice per $\mathbf{a}$, il prodotto \(\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )\mathbf{a}\) è l'$n$-upla delle coordinate dello stesso vettore secondo la base \(\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\right\}\), ci sono?
Cioè \(\bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )\) è ciò che si definisce matrice di transizione dalla base \(\left\{\frac{\partial}{\partial y_i}(p)\right\}\) alla base \(\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}(p)\right\}\): è corretto, dal punto di vista proprio del lessico?
"s.stuv":
In termini delle carte precedentemente introdotte, la matrice del cambiamento di base è evidentemente la (trasposta, mi sa) jacobiana
Indicando con $u_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ la funzione che restituisce l'$i$-esima componente dell'$n$-upla delle coordinate, mi sembrerebbe che abbiamo
\[ \bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg )=\begin{pmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1}(p) & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n} (p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1}(p) & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n}(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial(u_1·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_1}(\psi(p)) & \cdots &\frac{\partial(u_1·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_n}(\psi(p)) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial(u_n·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_1}(\psi(p)) & \cdots & \frac{\partial(u_n·\varphi·\psi^{-1})}{\partial u_n}(\psi(p)) \end{pmatrix}\]
che mi sembrerebbe proprio la jacobiana (piuttosto che la trasposta) di \(\varphi·\psi^{-1}:\psi(U\cap V)\to\mathbb{R}^n\) in \(\psi(p)\in\mathbb{R}^n\), o sto delirando?
Grazie di cuore ancora e buoni studi anche a te (la geometria differenziale è meravigliosa...)!!!!!!!!
\[ \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial y^1} \bigg |_p \\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial y^n} \bigg |_p \end{pmatrix}. \]Sulla questione della trasposta, è vero, non bisogna farla. Momento di confusione.
Quello che dici è preciso: la matrice \( \bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg ) \) è tale che se \( \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n \) costituisce la \(n\)-upla delle componenti di un vettore di \( T_p M \) rispetto alla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p \bigg ) \), allora il prodotto \( \bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg ) \mathbf{a} \) costituisce la \(n\)-upla delle componenti del medesimo vettore rispetto alla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p \bigg ) \). In ogni caso, la stessa matrice è nota come matrice di transizione dalla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p \bigg ) \) alla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p \bigg ) \), perché, formalmente, "moltiplicando" tale matrice per il "vettore" colonna
\[
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x^1} \bigg |_p \\
\vdots \\
\frac{\partial}{\partial x^n} \bigg |_p
\end{pmatrix}
\]
si ottiene il "vettore" colonna
\[
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial y^1} \bigg |_p \\
\vdots \\
\frac{\partial}{\partial y^n} \bigg |_p
\end{pmatrix}.
\]
Quello che dici è preciso: la matrice \( \bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg ) \) è tale che se \( \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n \) costituisce la \(n\)-upla delle componenti di un vettore di \( T_p M \) rispetto alla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p \bigg ) \), allora il prodotto \( \bigg ( \frac{\partial x^i}{\partial y^j}(p) \bigg ) \mathbf{a} \) costituisce la \(n\)-upla delle componenti del medesimo vettore rispetto alla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p \bigg ) \). In ogni caso, la stessa matrice è nota come matrice di transizione dalla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial x^i} \bigg |_p \bigg ) \) alla base \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial y^j} \bigg |_p \bigg ) \), perché, formalmente, "moltiplicando" tale matrice per il "vettore" colonna
\[
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x^1} \bigg |_p \\
\vdots \\
\frac{\partial}{\partial x^n} \bigg |_p
\end{pmatrix}
\]
si ottiene il "vettore" colonna
\[
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial y^1} \bigg |_p \\
\vdots \\
\frac{\partial}{\partial y^n} \bigg |_p
\end{pmatrix}.
\]
Adesso mi è tutto chiaro. I miei problemi erano due, quindi: interpretavo "al contrario" il significato di matrice di transizione e il mio libro sembra proprio avere un errore di stampa negli indici: la matrice di transizione dalle coordinate \(\{x_1,...,x_n\}\) a quelle \(\{y_1,...,y_n\}\) è allora \(\bigg(\bigg(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\bigg)_p\bigg)\) e non \(\bigg(\bigg(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\bigg)_p\bigg)\).
Che sudata!
Grazie di tutto cuore!!!
Che sudata!
Grazie di tutto cuore!!!
Sì, poi forse è solo un problema di notazioni. I testi di geometria differenziale, su questo, sono molto "variegati". Ora non ho sotto mano il Sernesi, magari me lo guardo più dettagliatamente per farmi un'idea di come imposta le cose e di come mette gli indici, ma l'importante è il concetto, e credo che tu ce l'abbia. Ciao.
La notazione \(\bigg(\bigg(\frac{\partial x_j}{\partial y_i}\bigg)_p\bigg)\) è utilizzata alle pp. 194 e 202 per la matrice che noi abbiamo chiamato \(\bigg(\bigg(\frac{\partial x_i}{\partial y_j}\bigg)_p\bigg)\), dove cioè tra le due parentesi esterne si ha l'elemento che si trova sull'$i$-esima riga nella $j$-esima colonna, mentre a p. 198 quando spiega che cos'è la matrice jacobiana di $f$ in $p$, la chiama \(\bigg(\bigg(\frac{\partial(y_i·f)}{\partial x_j}\bigg)_p\bigg)\), $i$-esima riga e $j$-esima colonna, come mi sembra essere l'uso comune e a questo punto direi in contrasto con gli indici usati per la matrice di transizione.
Ciao e grazie ancora!!!!!
Ciao e grazie ancora!!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo