Matrice Simmetrica Non Negativa ....
Mi sono piantato con questo:
Sia $A$ una matrice $n \times n$ reale simmetrica e avente elementi non negativi.
Dimostrare che $A$ possiede un autovettore con componenti non negative.
Le cose che vengono in mente subito sono:
- teorema spettrale ovviamente, $A$ può essere diagonalizzata con una matrice ortogonale. (Ma poi che ci faccio con questo?)
- tutti gli $n$ (con molteplicità) autovalori di $A$ sono reali (posso dire qualcosa sul loro segno?)
Grazie per l'aiuto!
Sia $A$ una matrice $n \times n$ reale simmetrica e avente elementi non negativi.
Dimostrare che $A$ possiede un autovettore con componenti non negative.
Le cose che vengono in mente subito sono:
- teorema spettrale ovviamente, $A$ può essere diagonalizzata con una matrice ortogonale. (Ma poi che ci faccio con questo?)
- tutti gli $n$ (con molteplicità) autovalori di $A$ sono reali (posso dire qualcosa sul loro segno?)
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Tutti gli autovalori sono reali, e questo si sa. Per me, almeno uno deve essere strettamente positivo, e questo è facile perché [detta $q(v)=v^TAv$ (forma quadratica)], la $q$ deve essere strettamente positiva in almeno un vettore (sceglilo come $e_i+e_j$), oppure identicamente nulla e allora identicamente nulla sarà pure la $A$.
Vuoi vedere che allora, detto $lambda>0$ questo autovalore, un corrispondente autovettore è quello che ci serve?
Vuoi vedere che allora, detto $lambda>0$ questo autovalore, un corrispondente autovettore è quello che ci serve?
@dissonance Non ho capito se la tua idea (che e' la prima che e' venuta in mente anche a me) porti alla conclusione. E' ovvio che l'autovettore
che cerchiamo deve avere autovalore positivo, ma non mi e' chiaro se trovato un autovalore positivo questo debba avere autovettore con
tutte componenti positive, anche ammettendo che tutti gli elementi di $A$ siano positivi. Sospetto di no ma non ne sono sicuro.
@everybody
Mi pare che il risultato si possa ottenere ricordando come di dimostra il teorema spettrale per le matrici simmetriche.
Come ricordava dissonance si definisce la forma quadratica $q(v)=v^T A v$ e si comincia a prendere il massimo di $q$ sulla
sfera $S=|v|=1$ - per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange (e la simmetria di $A$), se $v_0\in S$ e' un punto di massimo deve
esistere $\lambda_0$ tale che $A v_0=\lambda v_0$. (poi per andare avanti si passa all'ortogonale e si ricomincia).
Allora per trovare l'autovettore che cerchiamo basta dimostrare che il massimo di $q$ su $S$ si realizza su (almeno) un vettore avente tutte coordinate positive:
ma queso e' facile: prendi $v=(v_1,...,v_n)$ di massimo e considera $v'=(|v_1|,...,|v_n|)$; se $v$ sta in $S$ anche $v'$ sta in $S$, inoltre
$q(v)=v^TAv=\sum_{ij}a_{ij}v_iv_j\leq\sum_{ij}a_{ij}|v_i||v_j|=(v')^TAv'=q(v')$ (perche' $a_{ij}\geq 0$)
e quindi anche $v'$ e' punto di massimo (e quindi e' l'autovettore cercato)
che cerchiamo deve avere autovalore positivo, ma non mi e' chiaro se trovato un autovalore positivo questo debba avere autovettore con
tutte componenti positive, anche ammettendo che tutti gli elementi di $A$ siano positivi. Sospetto di no ma non ne sono sicuro.
@everybody
Mi pare che il risultato si possa ottenere ricordando come di dimostra il teorema spettrale per le matrici simmetriche.
Come ricordava dissonance si definisce la forma quadratica $q(v)=v^T A v$ e si comincia a prendere il massimo di $q$ sulla
sfera $S=|v|=1$ - per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange (e la simmetria di $A$), se $v_0\in S$ e' un punto di massimo deve
esistere $\lambda_0$ tale che $A v_0=\lambda v_0$. (poi per andare avanti si passa all'ortogonale e si ricomincia).
Allora per trovare l'autovettore che cerchiamo basta dimostrare che il massimo di $q$ su $S$ si realizza su (almeno) un vettore avente tutte coordinate positive:
ma queso e' facile: prendi $v=(v_1,...,v_n)$ di massimo e considera $v'=(|v_1|,...,|v_n|)$; se $v$ sta in $S$ anche $v'$ sta in $S$, inoltre
$q(v)=v^TAv=\sum_{ij}a_{ij}v_iv_j\leq\sum_{ij}a_{ij}|v_i||v_j|=(v')^TAv'=q(v')$ (perche' $a_{ij}\geq 0$)
e quindi anche $v'$ e' punto di massimo (e quindi e' l'autovettore cercato)
"ViciousGoblin":
Mi pare che il risultato si possa ottenere ricordando come di dimostra il teorema spettrale per le matrici simmetriche.
Come ricordava dissonance si definisce la forma quadratica $q(v)=v^T A v$ e si comincia a prendere il massimo di $q$ sulla
sfera $S=|v|=1$ - per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange (e la simmetria di $A$), se $v_0\in S$ e' un punto di massimo deve
esistere $\lambda_0$ tale che $A v_0=\lambda v_0$. (poi per andare avanti si passa all'ortogonale e si ricomincia).
Interessante! Io ho sempre pensato alla dimostrazione del teorema spettrale per via algebrica: si dimostra che un autovalore reale c'è per forza, si prende un autovettore, si dimostra che il suo ortogonale è stabile, si ripete il tutto sull'ortogonale. (Se invece di matrici simmetriche reali ci sono matrici di qualche altra classe, come ad esempio le matrici normali, si fa sostanzialmente la stessa cosa usando qualche ammennicolo algebrico diverso volta per volta).
Solo che con questo approccio, poi come si trattano le componenti degli autovalori? Non che ci abbia pensato a fondo, ma sospetto che non si possa dire nulla sul loro segno. Invece con la via descritta da V.G. sì. Vabbé, solo una osservazione.
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