Matrice simmetrica

[Mammamia3]

Ho una matrice A simmetrica 4x4 composta sulla diagonale da 2 e poi da tutti 1. Mi chiede di discutere l'affermazione
X appartenente a R^4, X diverso da 0, traspostadiX*A*X>0
Come faccio a dimostrare che è vero/falso?

[minomic]

Ciao, è questa la matrice che intendi?
\[
\left (
\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right )
\]

[apatriarca]

Ti sta quindi chiedendo se la seguente affermazione è vera (dove \(A\) è la matrice mostrata da minomic?)?
\[ \forall \, 0 \neq x \in \mathbb R^4, \; x^t\,A\,x > 0 \]
Se proprio non ti vengono in mente soluzioni migliori, prova a scrivere l'equazione corrispondente usando le coordinate..

[Mammamia3]

Si la matrice è quella. Quindi devo sostituire a X la base canonica ? E poi come faccio a dimostrare che la cosa vale per ogni X e non solo se X è la base canonica?
Grazie mille!

[Mammamia3]

(Sono in alto mare!!)

[apatriarca]

Ma \( x \) è un vettore di \( \mathbb R^4 \) e sarà quindi nella forma \( (x_1, x_2, x_3, x_4). \) Se è diverso da zero, allora almeno una delle componenti del vettore sarà non nulla. Devi far vedere che facendo variare questi valori il risultato è sempre maggiore di zero.

[Mammamia3]

Io avevo provato a scrivere che (non so usare il linguaggio matematico e per questo mi scuso)
che:
A= traspostadiA quindi

traspostadi X * A * X = traspostadi X * traspostadi A* X
che non è altro che un prodotto scalare

< X, AX > =

[apatriarca]

Certo, però il prodotto scalare tra due vettori non è necessariamente positivo..

[Mammamia3]

Scusa è che io con questa roba sono una frana
Io ho sostituito la base canonica e ho provato anche con un altro vettore X la cui componente non nulla era invece negativa e ho verificato che è sempre positivo, ma adesso non riesco a generalizzare il fatto.
Cioè io scrivo X come un vettore con quattro componenti non tutte nulle, componenti qualunque, e poi come posso dire che qualunque esso sia moltiplicato per una matrice simmetrica è positivo, usando quale proprietà?!

[apatriarca]

Il modo più semplice di risolvere questo problema è probabilmente diagonalizzare la matrice se sai come fare (nota che puoi per certi versi a quel punto ignorare le matrici che hai usato per diagonalizzare..). Se no ti devi inventare qualcosa per dimostrare che \( \sum\,x_i^2 + \sum\,\sum\,x_i\,x_j > 0 \) per ogni valore di \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) non tutti nulli.