Matrice semidefinita positiva
Salve.
So che una matrice definita positiva è non singolare perchè gli autovalori della matrice diagonalizzata sono positivi e dunque il determinante è positivo.
Per quanto riguarda invece una matrice SEMIDEFINITA positiva, posso certamente affermare che essa sia singolare perchè almeno uno degli autovalori è nullo?
Rispondetemi vi prego, grazie mille!
So che una matrice definita positiva è non singolare perchè gli autovalori della matrice diagonalizzata sono positivi e dunque il determinante è positivo.
Per quanto riguarda invece una matrice SEMIDEFINITA positiva, posso certamente affermare che essa sia singolare perchè almeno uno degli autovalori è nullo?
Rispondetemi vi prego, grazie mille!
Risposte
Giusto.
Beh no, speculor, io non direi. Quando uno dice "matrice semidefinita positiva", di solito non esclude che possa essere definita positiva e quindi non singolare. Almeno, così ho sempre fatto io.
@Mik_92: Non dire "gli autovalori della matrice diagonalizzata", è molto brutto. Infatti gli autovalori della matrice diagonalizzata sono gli stessi della matrice originaria: se specifichi, dai l'idea di non saperlo. E non sapere questo è grave, perché è il singolo fatto più importante di tutta la teoria.
@Mik_92: Non dire "gli autovalori della matrice diagonalizzata", è molto brutto. Infatti gli autovalori della matrice diagonalizzata sono gli stessi della matrice originaria: se specifichi, dai l'idea di non saperlo. E non sapere questo è grave, perché è il singolo fatto più importante di tutta la teoria.
Sono abbastanza sicuro che nel caso di matrice simmetrica la definizione è legata al prodotto scalare da essa rappresentata.
In quel caso se ad avere norma nulla è solo il vettore nullo allora la matrice è definita positiva.
Se ad avere norma nulla esistono vettori anche diversi dal vettore nullo allora la matrice è semidefinita positiva.
Per me erano due definizioni distinte, una non era un caso più generale.
Non ricordo però se la definizione poteva essere assegnata anche per matrici non necessariamente simmetriche.
Se è vero che qualsiasi matrice può essere scritta come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica, il prodotto scalare associato alla parte antisimmetrica dovrebbe essere nullo. Quindi potrebbe essere estesa ma non ne sono sicuro.
Come definisci tu il concetto?
In quel caso se ad avere norma nulla è solo il vettore nullo allora la matrice è definita positiva.
Se ad avere norma nulla esistono vettori anche diversi dal vettore nullo allora la matrice è semidefinita positiva.
Per me erano due definizioni distinte, una non era un caso più generale.
Non ricordo però se la definizione poteva essere assegnata anche per matrici non necessariamente simmetriche.
Se è vero che qualsiasi matrice può essere scritta come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica, il prodotto scalare associato alla parte antisimmetrica dovrebbe essere nullo. Quindi potrebbe essere estesa ma non ne sono sicuro.
Come definisci tu il concetto?
Io uso queste definizioni: una matrice quadrata (diciamo reale) e simmetrica $A$ è semidefinita positiva se e solo se
$\forall x \in RR^n,\quad x^TAx \ge 0$;
ovvero se e solo se la forma quadratica ad essa associata non è mai negativa. Se, in aggiunta, vale l'uguaglianza solo se $x=0$, allora $A$ è definita positiva. @Mik_92: Con queste definizioni, come vedi subito, una matrice semidefinita positiva può essere anche definita positiva e quindi il discorso che tu fai non funziona.
C'è poi la questione, sollevata da speculor, "matrici simmetriche o non simmetriche?". In effetti taluni usano estendere queste definizioni anche alle matrici non necessariamente simmetriche (o Hermitiane, nel caso complesso). Io trovo che sia una falsa generalizzazione, come dicevo in questa vecchia discussione:
qui https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#493416
e qui https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#493582
$\forall x \in RR^n,\quad x^TAx \ge 0$;
ovvero se e solo se la forma quadratica ad essa associata non è mai negativa. Se, in aggiunta, vale l'uguaglianza solo se $x=0$, allora $A$ è definita positiva. @Mik_92: Con queste definizioni, come vedi subito, una matrice semidefinita positiva può essere anche definita positiva e quindi il discorso che tu fai non funziona.
C'è poi la questione, sollevata da speculor, "matrici simmetriche o non simmetriche?". In effetti taluni usano estendere queste definizioni anche alle matrici non necessariamente simmetriche (o Hermitiane, nel caso complesso). Io trovo che sia una falsa generalizzazione, come dicevo in questa vecchia discussione:
qui https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#493416
e qui https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#493582
Puoi farmi un esempio di matrice simmetrica diagonalizzata semidefinita positiva ma non definita positiva con tutti gli autovalori positivi?
Di questo passo si rischia di non distinguere più le due definizioni.
Di questo passo si rischia di non distinguere più le due definizioni.
Non ho mai detto che possa esistere una matrice di questo genere. Dico soltanto che una matrice semidefinita potrebbe essere definita, e quindi non singolare. Per quanto riguarda la simmetria, dico che è preferibile, in questo contesto, trattare solo matrici simmetriche in modo tale che valga il teorema:
una matrice simmetrica è semidefinita positiva se e solo se essa ha tutti gli autovalori non negativi;
una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se essa ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
una matrice simmetrica è semidefinita positiva se e solo se essa ha tutti gli autovalori non negativi;
una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se essa ha tutti gli autovalori strettamente positivi.
Ciao ad entrambi e grazie per le argomentazioni fornite tramite le vostre risposte.
E' vero, sono stato piuttosto impreciso a causa dell'impeto con cui ho chiesto la domanda, mi scuso e mi spiego meglio.
C'è un teorema, tale teorema di Jacobi, che permette di determinare una matrice diagonale i cui elementi della diagonale principale vengono calcolati a partire dai minori principali della matrice di partenza, la quale è simmetrica e di rango n. Gli elementi della diagonale principale della matrice diagonale sono dunque gli autovalori della matrice originaria.
Mi chiedevo appunto, date queste premesse, cosa renderebbe una matrice semidefinita positiva non necessariamente singolare, dato che l'eventuale presenza un autovalore nullo porterebbe ad affermare che essa sia soltanto singolare.
E' vero, sono stato piuttosto impreciso a causa dell'impeto con cui ho chiesto la domanda, mi scuso e mi spiego meglio.
C'è un teorema, tale teorema di Jacobi, che permette di determinare una matrice diagonale i cui elementi della diagonale principale vengono calcolati a partire dai minori principali della matrice di partenza, la quale è simmetrica e di rango n. Gli elementi della diagonale principale della matrice diagonale sono dunque gli autovalori della matrice originaria.
Mi chiedevo appunto, date queste premesse, cosa renderebbe una matrice semidefinita positiva non necessariamente singolare, dato che l'eventuale presenza un autovalore nullo porterebbe ad affermare che essa sia soltanto singolare.
Testo 1:
Autore: V. I. Smirnov
Titolo: Corso di matematica superiore III Parte prima
Editore: Editori riuniti
Dopo aver diagonalizzato la forma quadratica l'autore scrive:
"Consideriamo ora il caso in cui diversi coefficienti siano nulli e tutti i coefficienti non nulli siano di segno determinato, per esempio, positivi...
Nel caso considerato la forma è detta a segno costante o semidefinita positiva".
Testo 2:
Autore: A. G. Kuros
Titolo: Corso di algebra superiore
Editore: Editore riuniti
Premesso che una forma quadratica degenere ha determinante nullo, l'autore scrive:
"Le forme quadratiche degeneri, la forma normale delle quali contiene soltanto quadrati delle indeterminate con coefficienti +1 (o, rispettivamente, -1), si dicono talvolta semidefinite".
Testo 3:
Autore: J. P. Cecconi G. Stampacchia
Titolo: Analisi matematica 2° Volume Funzioni di più variabili
Editore: Liguori editore
"Se V è uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e se Q è una forma quadratica su V allora condizione necessaria e sufficiente affinchè Q sia definita positiva (semidefinita positiva) è che tutti gli autovalori della matrice siano positivi (non negativi)".
Mentre i primi due riferimenti non danno spazio ad interpretazioni diverse dalla mia, il terzo riferimento è sicuramente ambiguo. Ma, e non perchè io voglia avere assolutamente ragione, si capisce dalla forma dell'enunciato che nel secondo caso l'autore richiede almeno un autovalore nullo, altrimenti si ricadrebbe totalmente nel primo.
In definitiva, premesso che tutte le forme quadratiche assegnano norma nulla al vettore nullo, se esso è l'unico vettore a norma nulla allora la forma è definita positiva, se ve ne sono altri la forma è semidefinita positiva. Sto chiaramente escludendo forme definite o semidefinite negative. Questa impostazione, tra l'altro, mi permette di capire in modo non ambiguo a quali forme faccio riferimento nel caso di forme quadratiche positive e semidefinite positive. L'informazione è più strutturata e la logica più pulita.
Autore: V. I. Smirnov
Titolo: Corso di matematica superiore III Parte prima
Editore: Editori riuniti
Dopo aver diagonalizzato la forma quadratica l'autore scrive:
"Consideriamo ora il caso in cui diversi coefficienti siano nulli e tutti i coefficienti non nulli siano di segno determinato, per esempio, positivi...
Nel caso considerato la forma è detta a segno costante o semidefinita positiva".
Testo 2:
Autore: A. G. Kuros
Titolo: Corso di algebra superiore
Editore: Editore riuniti
Premesso che una forma quadratica degenere ha determinante nullo, l'autore scrive:
"Le forme quadratiche degeneri, la forma normale delle quali contiene soltanto quadrati delle indeterminate con coefficienti +1 (o, rispettivamente, -1), si dicono talvolta semidefinite".
Testo 3:
Autore: J. P. Cecconi G. Stampacchia
Titolo: Analisi matematica 2° Volume Funzioni di più variabili
Editore: Liguori editore
"Se V è uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e se Q è una forma quadratica su V allora condizione necessaria e sufficiente affinchè Q sia definita positiva (semidefinita positiva) è che tutti gli autovalori della matrice siano positivi (non negativi)".
Mentre i primi due riferimenti non danno spazio ad interpretazioni diverse dalla mia, il terzo riferimento è sicuramente ambiguo. Ma, e non perchè io voglia avere assolutamente ragione, si capisce dalla forma dell'enunciato che nel secondo caso l'autore richiede almeno un autovalore nullo, altrimenti si ricadrebbe totalmente nel primo.
In definitiva, premesso che tutte le forme quadratiche assegnano norma nulla al vettore nullo, se esso è l'unico vettore a norma nulla allora la forma è definita positiva, se ve ne sono altri la forma è semidefinita positiva. Sto chiaramente escludendo forme definite o semidefinite negative. Questa impostazione, tra l'altro, mi permette di capire in modo non ambiguo a quali forme faccio riferimento nel caso di forme quadratiche positive e semidefinite positive. L'informazione è più strutturata e la logica più pulita.
Non trovo che il terzo riferimento sia ambiguo. Al contrario, mi pare quello più chiaro di tutti. Io personalmente prediligo, e di gran lunga, la definizione secondo cui le matrici definite di segno sono anche semidefinite di segno, ma insomma, è solo questione di gusti. E' del tutto normale che le definizioni differiscano da autore ad autore e la cosa importante è che il contesto renda chiaro quale definizione si sta adottando.
@Mik_92: Per le matrici simmetriche hai un importante teorema a garantirti che esse hanno tutti gli autovalori reali. La definitezza di segno, in questo caso, è il segno degli autovalori: se essi cambiano segno la matrice è non definita di segno, altrimenti è definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa a seconda delle definizioni che adotti. L'unico modo perché una matrice sia singolare è che uno degli autovalori sia nullo: questo vale per TUTTE le matrici e non solo per quelle simmetriche. Di converso, quindi, l'unico modo perché una matrice sia NON singolare è che tutti gli autovalori siano non nulli. Quando combini questa informazione con il discorso sulla definitezza di segno che facevamo prima, ottieni che:
"condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica e semidefinita di segno sia non singolare è che tutti gli autovalori siano strettamente positivi (o strettamente negativi)".
(E qui, naturalmente, sto usando la definizione "allargata" di matrice semidefinita di segno, ovvero la 3a del post di speculor ).
@Mik_92: Per le matrici simmetriche hai un importante teorema a garantirti che esse hanno tutti gli autovalori reali. La definitezza di segno, in questo caso, è il segno degli autovalori: se essi cambiano segno la matrice è non definita di segno, altrimenti è definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa a seconda delle definizioni che adotti. L'unico modo perché una matrice sia singolare è che uno degli autovalori sia nullo: questo vale per TUTTE le matrici e non solo per quelle simmetriche. Di converso, quindi, l'unico modo perché una matrice sia NON singolare è che tutti gli autovalori siano non nulli. Quando combini questa informazione con il discorso sulla definitezza di segno che facevamo prima, ottieni che:
"condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica e semidefinita di segno sia non singolare è che tutti gli autovalori siano strettamente positivi (o strettamente negativi)".
(E qui, naturalmente, sto usando la definizione "allargata" di matrice semidefinita di segno, ovvero la 3a del post di speculor ).
Qui non è solo questione di gusti.
Faresti un torto almeno ai primi due autori che ho citato.
Lasciamo giudicare agli altri quali dei due procedimenti è più efficace.
Faresti un torto almeno ai primi due autori che ho citato.
Lasciamo giudicare agli altri quali dei due procedimenti è più efficace.
Ma perché te la prendi tanto, speculor? Succede molto di frequente e in ogni campo della matematica che vi siano divergenze nelle definizioni. Vuoi che faccia qualche esempio? Così su due piedi, mi viene in mente la classica ambiguità sull'insieme $NN$: contiene o non contiene lo zero? Ma anche: cos'è un punto di accumulazione per una successione di elementi di uno spazio topologico? Qual è la definizione di funzione di distribuzione di una variabile aleatoria? Come è definito il risolvente di un operatore lineare? E la trasformata di Fourier di una funzione sommabile?
Ogni autore adotta una sfumatura diversa. E' una cosa che trovo perfettamente normale, un po' fastidiosa alle volte (come in questo thread), ma sopportabile.
Ogni autore adotta una sfumatura diversa. E' una cosa che trovo perfettamente normale, un po' fastidiosa alle volte (come in questo thread), ma sopportabile.
Veramente, non voglio polemizzare. A questo punto, però, sarebbe bello che tu mi portassi alcune citazioni che favoriscono la tua interpretazione.
Ti prometto che, se ne trovo altre, le riporterò, quelle a mio favore e quelle a tuo favore. Per così dire, un gioco.
Tra l'altro, vedo dai tuoi interventi la tua assoluta competenza. Per esempio, ho apprezzato molto il tuo ultimo intervento sulle matrici che commutano.
Dimostra il tuo rigore e la tua professionalità.
Ti prometto che, se ne trovo altre, le riporterò, quelle a mio favore e quelle a tuo favore. Per così dire, un gioco.
Tra l'altro, vedo dai tuoi interventi la tua assoluta competenza. Per esempio, ho apprezzato molto il tuo ultimo intervento sulle matrici che commutano.
Dimostra il tuo rigore e la tua professionalità.
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