Matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche
Salve a tutti,
In questo esercizio non saprei come procedere:
Verificare che le relazioni
$ f(1,1,1)=(-1,2);f(0,1,1)=(0,4);f(1,1,0)=(2,1) $
definiscono un’unica applicazione lineare $ f:R^3rarrR^2 $ e scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla basi canoniche.
Come fareste? Grazie.
In questo esercizio non saprei come procedere:
Verificare che le relazioni
$ f(1,1,1)=(-1,2);f(0,1,1)=(0,4);f(1,1,0)=(2,1) $
definiscono un’unica applicazione lineare $ f:R^3rarrR^2 $ e scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla basi canoniche.
Come fareste? Grazie.
Risposte
L’applicazione lineare $f$ è ben definita perché
$B={v_1=(1,1,1),v_2=(0,1,1),v_3(1,1,0)}$
è una base di $R^3$, perchè $dim(R^3)=3$ e i tre vettori che compongono $B$ sono linearmente indipendenti,
visto che $det((1,1,1),(0,1,1),(1,1,0))=-1\ne0$
Per determinare la matrice facciamo cosi
$(R^3)_\xi->(R^3)_B->(R^2)_\epsilon$
Dove nella prima freccia applichiamo l'identità e nella seconda la funzione
Ah indichiamo con $\xi={E_1=((1),(0),(0)),E_2=((0),(1),(0)),E_3=((0),(0),(1))}$ la base canonica di $R^3$,con $B={v_1,v_2,v_3}$ la base che ti dà l'esercizio e con $\xi={e_1=((1),(0)),e_2=((0),(1))}$ la base canonica di $R^2$
Applichiamo l'identità ai vettori di $\xi$
$E_1=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 \Leftrightarrow ((1),(0),(0))=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))((a_1),(a_2),(a_3)) \Leftrightarrow ((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1((1),(0),(0))=((a_1),(a_2),(a_3))$
$E_2=b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3$
$E_3=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3$
Fai la stessa cosa che ho fatto per il primo anche agli altri due anche se il risulto è già intuibile infatti la matrice associata all'identità rispetto alla base canonica nel dominio e alla base $B$ nel codominio è $M_(B\xi)(id)=((a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3))=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1$
Ora la matrice associata alla funzione rispetto alla base $B$ nel dominio e alla base canonica nel codominio la determiniamo semplicemente: sappiamo che
$x=k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3 \Rightarrow f(x)=k_1f(v_1)+k_2f(v_2)+k_3f(v_3) \Rightarrow f(x)=((-1,0,2),(2,4,1))((k_1),(k_2),(k_3))$
Quindi $M_(\epsilonB)(f)=((-1,0,2),(2,4,1))$
Quindi la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla basi canoniche è
$M_(\epsilon\xi)(f)=M_(\epsilonB)(f)\cdotM_(B\xi)(id)=((-1,0,2),(2,4,1))((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1$
$B={v_1=(1,1,1),v_2=(0,1,1),v_3(1,1,0)}$
è una base di $R^3$, perchè $dim(R^3)=3$ e i tre vettori che compongono $B$ sono linearmente indipendenti,
visto che $det((1,1,1),(0,1,1),(1,1,0))=-1\ne0$
Per determinare la matrice facciamo cosi
$(R^3)_\xi->(R^3)_B->(R^2)_\epsilon$
Dove nella prima freccia applichiamo l'identità e nella seconda la funzione
Ah indichiamo con $\xi={E_1=((1),(0),(0)),E_2=((0),(1),(0)),E_3=((0),(0),(1))}$ la base canonica di $R^3$,con $B={v_1,v_2,v_3}$ la base che ti dà l'esercizio e con $\xi={e_1=((1),(0)),e_2=((0),(1))}$ la base canonica di $R^2$
Applichiamo l'identità ai vettori di $\xi$
$E_1=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 \Leftrightarrow ((1),(0),(0))=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))((a_1),(a_2),(a_3)) \Leftrightarrow ((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1((1),(0),(0))=((a_1),(a_2),(a_3))$
$E_2=b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3$
$E_3=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3$
Fai la stessa cosa che ho fatto per il primo anche agli altri due anche se il risulto è già intuibile infatti la matrice associata all'identità rispetto alla base canonica nel dominio e alla base $B$ nel codominio è $M_(B\xi)(id)=((a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3))=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1$
Ora la matrice associata alla funzione rispetto alla base $B$ nel dominio e alla base canonica nel codominio la determiniamo semplicemente: sappiamo che
$x=k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3 \Rightarrow f(x)=k_1f(v_1)+k_2f(v_2)+k_3f(v_3) \Rightarrow f(x)=((-1,0,2),(2,4,1))((k_1),(k_2),(k_3))$
Quindi $M_(\epsilonB)(f)=((-1,0,2),(2,4,1))$
Quindi la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla basi canoniche è
$M_(\epsilon\xi)(f)=M_(\epsilonB)(f)\cdotM_(B\xi)(id)=((-1,0,2),(2,4,1))((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1$
Grazie mille per la spiegazione, ho un dubbio sull'ultimo passaggio però. Probabilmente non ho capito bene la parte teorica, ma come mai il prodotto di quelle due matrici da come risultato la matrice richiesta?
$(R^3)_\xi \rightarrow (R^3)_B \rightarrow (R^2)_\epsilon$
$x \mapsto x' \mapsto y$
ossia
$ x \mapsto x' =id(x)=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1 x \mapsto y=f(x')=((-1,0,2),(2,4,1)) x' = ((-1,0,2),(2,4,1))((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1 x $
Così è più chiaro?
$x \mapsto x' \mapsto y$
ossia
$ x \mapsto x' =id(x)=((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1 x \mapsto y=f(x')=((-1,0,2),(2,4,1)) x' = ((-1,0,2),(2,4,1))((1,0,1),(1,1,1),(1,1,0))^-1 x $
Così è più chiaro?
Più o meno, nel senso che di quello che ho capito $ x prime $ è la matrice rappresentativa rispetto al dominio cambiata di base.
Ma mi chiedo
1) perchè devo cambiarla di base?
2) perchè devo moltiplicare queste due matrici?
Ho cercato un po' su internet e sul mio manuale ma non riesco proprio a capire il motivo di queste operazioni.
Ma mi chiedo
1) perchè devo cambiarla di base?
2) perchè devo moltiplicare queste due matrici?
Ho cercato un po' su internet e sul mio manuale ma non riesco proprio a capire il motivo di queste operazioni.
Scusate se mi intrometto, ma il procedimento che ha proposto freebulls (che è corretto) può essere reso molto più rapido.
Dopo aver notato che si tratta di una base di $RR^3$, sappiamo che l'applicazione esiste ed è unica [THM di esistenza e unicità di applicazioni lineari]. Ci viene chiesto di trovare la matrice rispetto alla base canonica, per cui basta conoscere i trasformati di $((1),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(0),(1))$ tramite $f$.
Bene, ora sfruttiamo la linearità dell'applicazione.
A occhio, vediamo che
$f((1),(0),(0))=f((1),(1),(1))-f((0),(1),(1))=((-1),(2)) - ((0),(4))=((-1),(-2))$. Abbiamo $f(e_1)$.
Ci serve ora $f((0),(1),(0))$.
Per determinare come dobbiamo sommare i vettori per trovarci $((0),(1),(0))$, facciamo un sistemino (si vede anche a occhio, ma in futuro potresti aver bisogno di farlo).
$((0),(1),(0))=a*((1),(1),(1))+b*((0),(1),(1))+c*((1),(1),(0))$. Si trova che $a=-1,b=c=1$.
Da cui, sempre per linearità: $f((0),(1),(0))=-f((1),(1),(1))+f((0),(1),(1))+f((1),(1),(0))=-((-1),(2)) + ((0),(4))+((2),(1))=((3),(3))$.
Bene, resta solo da determinare $f((0),(0),(1))$. Anche ora si vede a occhio che $((0),(0),(1))=((1),(1),(1))-((1),(1),(0))$.
Da cui $f((0),(0),(1))=((-3),(1))$.
La nostra matrice pertanto è $ A=(( -1,3,-3 ),( -2,3,1 ) ) $.
Come vedi non c'è stato bisogno di operare alcun cambiamento di base e non è necessario calcolare alcuna matrice inversa
Dopo aver notato che si tratta di una base di $RR^3$, sappiamo che l'applicazione esiste ed è unica [THM di esistenza e unicità di applicazioni lineari]. Ci viene chiesto di trovare la matrice rispetto alla base canonica, per cui basta conoscere i trasformati di $((1),(0),(0)),((0),(1),(0)),((0),(0),(1))$ tramite $f$.
Bene, ora sfruttiamo la linearità dell'applicazione.
A occhio, vediamo che
$f((1),(0),(0))=f((1),(1),(1))-f((0),(1),(1))=((-1),(2)) - ((0),(4))=((-1),(-2))$. Abbiamo $f(e_1)$.
Ci serve ora $f((0),(1),(0))$.
Per determinare come dobbiamo sommare i vettori per trovarci $((0),(1),(0))$, facciamo un sistemino (si vede anche a occhio, ma in futuro potresti aver bisogno di farlo).
$((0),(1),(0))=a*((1),(1),(1))+b*((0),(1),(1))+c*((1),(1),(0))$. Si trova che $a=-1,b=c=1$.
Da cui, sempre per linearità: $f((0),(1),(0))=-f((1),(1),(1))+f((0),(1),(1))+f((1),(1),(0))=-((-1),(2)) + ((0),(4))+((2),(1))=((3),(3))$.
Bene, resta solo da determinare $f((0),(0),(1))$. Anche ora si vede a occhio che $((0),(0),(1))=((1),(1),(1))-((1),(1),(0))$.
Da cui $f((0),(0),(1))=((-3),(1))$.
La nostra matrice pertanto è $ A=(( -1,3,-3 ),( -2,3,1 ) ) $.
Come vedi non c'è stato bisogno di operare alcun cambiamento di base e non è necessario calcolare alcuna matrice inversa
Grazie mille della risposta! mi ha fatto piacere la tua "intromissione":)
Ottima soluzione, tuttavia il mio profe ha indicato nella soluzione l'altro metodo e volevo capire bene quello. In ogni caso probabilmente all'esame userò il tuo feddy
Ottima soluzione, tuttavia il mio profe ha indicato nella soluzione l'altro metodo e volevo capire bene quello. In ogni caso probabilmente all'esame userò il tuo feddy
Sono contento sia stato chiaro e utile. In bocca al lupo per il tuo esame
grazie!
WOw feddy, sai che non ci avevo mai pensato? Certamente non facevo tutti i passaggi come quelli che ho scritto qui perché molti ormai erano immediati ma comunque il tuo metodo è molto più immediato. Io ho scritto tutti i passaggi per essere più chiaro ma la tua soluzione è sicuramente migliore!
@Freebulls la tua strategia dietro ha la teoria del cambio di base, che è un argomento che secondo me è importantissimo, solo che spesso va "digerito". Sfruttare la linearità spesso però salva la vita. Comunque non è che sia migliore, è semplicemente un'altra strada. L'importante è avere una cartuccia in più da sparare all'esame
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