Matrice Rappresentativa
Salve a tutti! ho un problema con questo esercizio, non capisco proprio come posso trovare la matrice rappresentativa...
Scrivere la matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica di R3, di
un'applicazione lineare L : \(\displaystyle R3 \rightarrow R3 \) con le seguenti proprieta :
(a) nucleo(L) = \(\displaystyle \{(1; 1; 1);\} \)
(b) Im(L) = V = \(\displaystyle \{f(x; y; z)\ \epsilon \ R3 : x + y + z = 0. \} \)
Qualcuno riesce a darmi due dritte? grazie mille
Scrivere la matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica di R3, di
un'applicazione lineare L : \(\displaystyle R3 \rightarrow R3 \) con le seguenti proprieta :
(a) nucleo(L) = \(\displaystyle \{(1; 1; 1);\} \)
(b) Im(L) = V = \(\displaystyle \{f(x; y; z)\ \epsilon \ R3 : x + y + z = 0. \} \)
Qualcuno riesce a darmi due dritte? grazie mille
Risposte
In generale, se $\{e_i,\ i=1...n\}$ è la base di uno spazio vettoriale $n$-dimensionale rispetto alla quale si vuole trovare la rappresentazione di una applicazione lineare $f$ devi andare a vedere come si comporta $f$ sulla base stessa, scrivendo i valori
$f(e_i)=\sum_{j=1}^n a_i^j e_j,\qquad i=1...n$
dove gli $a_i^j$ sono le compenenti della tua matrice.
Quello che devi fare è cercare di tradurre in questo senso le informazioni che ti vengono date. Ad esempio, che vuol dire che il nucleo di $L$ ha come base (presumo che sia così) il vettore $(1,1,1)$? (Ricorda che $v\in\ker L$ se e solo se $L(v)=0$).
$f(e_i)=\sum_{j=1}^n a_i^j e_j,\qquad i=1...n$
dove gli $a_i^j$ sono le compenenti della tua matrice.
Quello che devi fare è cercare di tradurre in questo senso le informazioni che ti vengono date. Ad esempio, che vuol dire che il nucleo di $L$ ha come base (presumo che sia così) il vettore $(1,1,1)$? (Ricorda che $v\in\ker L$ se e solo se $L(v)=0$).
Puoi fare anche così. Sia f l'applicazione da trovare.
Intanto, esssendo dim(Ker(f))=1, dovrà essere dim(Im(f))=3-1=2 ( questo scaturisce anche dal fatto che l'equazione x+y+z=0 ha due variabili libere). Una base di Im(f) è \(\displaystyle [(1,-1,0),(1,0,-1)] \). Il problema è trovare tre vettori \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \) indipendenti di R^3 di cui sia possibile conoscere le immagini. Nel nostro caso possiamo scegliere \(\displaystyle v_3=(1,1,1) \) sapendo che è \(\displaystyle f(v_3)=(0,0,0) \) mentre per gli altri due prendiamo :
\(\displaystyle v_1=(1,0,0) \) imponendo che sia \(\displaystyle f(v_1)=(1,-1,0) \)
\(\displaystyle v_2=(0,1,0) \) imponendo che sia \(\displaystyle f(v_2)=(1,0,-1) \)
Esprimiamo ora il generico vettore (x,y,z) di R^3 in funzione di \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \). Con qualche calcolo abbiamo :
\(\displaystyle (x,y,z)=(x-z)(1,0,0)+(y-z)(0,1,0)+ z(1,1,1)\)
Passando alle immagini risulta:
\(\displaystyle f(x,y,z)=(x-z)(1,-1,0)+(y-z)(1,0,-1)+z(0,0,0) \)
Ovvero :
\(\displaystyle f(x,y,z)=(x+y-2z,-x+z,-y+z) \)
Pertanto la matrice A associata ad f sarà:
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1,1,-2\\-1,0,1\\0,-1,1\end{pmatrix} \)
Naturalmente scegliendo in modo diverso i vettori \(\displaystyle v_1,v_2\) si avrebbe una diversa applicazione con una diversa matrice.
Intanto, esssendo dim(Ker(f))=1, dovrà essere dim(Im(f))=3-1=2 ( questo scaturisce anche dal fatto che l'equazione x+y+z=0 ha due variabili libere). Una base di Im(f) è \(\displaystyle [(1,-1,0),(1,0,-1)] \). Il problema è trovare tre vettori \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \) indipendenti di R^3 di cui sia possibile conoscere le immagini. Nel nostro caso possiamo scegliere \(\displaystyle v_3=(1,1,1) \) sapendo che è \(\displaystyle f(v_3)=(0,0,0) \) mentre per gli altri due prendiamo :
\(\displaystyle v_1=(1,0,0) \) imponendo che sia \(\displaystyle f(v_1)=(1,-1,0) \)
\(\displaystyle v_2=(0,1,0) \) imponendo che sia \(\displaystyle f(v_2)=(1,0,-1) \)
Esprimiamo ora il generico vettore (x,y,z) di R^3 in funzione di \(\displaystyle v_1,v_2,v_3 \). Con qualche calcolo abbiamo :
\(\displaystyle (x,y,z)=(x-z)(1,0,0)+(y-z)(0,1,0)+ z(1,1,1)\)
Passando alle immagini risulta:
\(\displaystyle f(x,y,z)=(x-z)(1,-1,0)+(y-z)(1,0,-1)+z(0,0,0) \)
Ovvero :
\(\displaystyle f(x,y,z)=(x+y-2z,-x+z,-y+z) \)
Pertanto la matrice A associata ad f sarà:
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1,1,-2\\-1,0,1\\0,-1,1\end{pmatrix} \)
Naturalmente scegliendo in modo diverso i vettori \(\displaystyle v_1,v_2\) si avrebbe una diversa applicazione con una diversa matrice.
Grazie mille ad entrambi per le spiegazioni! Ora ho capito 
Grazie!!!
Grazie!!!
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