Matrice quadrata ha rango massimo sse è invertibile

[markzzz]

Salve.

Avrei la necessità di dimostrare questo teorema, che è alla base di altri teoremi e corollari.

Una Matrice quadrata ha rango massimo sse è invertibile

Essendo sse, bisogna dimostrarlo da entrambi i lati, quindi :

1) Prima parte =>

IPOTESI : La matrice ha rango massimo
TESI : E' Invertibile

2) Prima parte <=

IPOTESI : E' Invertibile
TESI : La matrice ha rango massimo

Qualcuno ha dei suggerimenti su come/dove partire? Non riesco a collegare il fatto che se tutte le colonne/righe sono linearmente indipendenti, allora esiste l'inversa.

Saluti e grazie anticipati

[gugo82]

Ma è un risultato che c'è su qualsiasi libro di testo di Algebra Lineare, no?

[markzzz]

La dimostrazione? No sul libro che stò usando per questi argomenti non c'è...è "richiesta come esercizio allo studente"

[gugo82]

E allora, come hai pensato di fare?
Basterà applicare qualche teorema precedente... Any ideas?

[markzzz]

Eh... prima ho solo le definizioni di rango massimo e matrice inversa! Non vedo la relazione... Per questo chiedo un piccolo aiuto hehe

[markzzz]

quindi nessuna idea/suggerimento?

[dissonance]

Suggerimento: osserva che se $A$ è una matrice $ntimes n$ e $v$ è un vettore colonna di lunghezza $n$ allora

$Av=v_1A_1+ldots +v_n A_n$

dove $v_1 ldots v_n$ sono le componenti di $v$ e $A_1 ldots A_n$ sono le colonne di $A$.

[markzzz]

non credo di capire dove vuoi arrivare...
avendo rango massimo tutte le colonne saranno linearmente indipendenti, quindi per AV=0 quei V saranno tutti uguali a 0, ma non vedo il nesso con il fatto che sia invertibile...

[dissonance]

"Invertibile" che significa? Significa, essenzialmente, che per ogni vettore colonna $y$ esiste una e una sola soluzione dell'equazione

$Ax=y$.

E' chiaro questo? Se si, non avrai problemi a concludere: infatti se le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti esse formano una base dello spazio $K^n$ (tipicamente $K^n=RR^n, K^n=CC^n$) e quindi...

[markzzz]

se ha rango massimo significa che avrà una e una sola soluzione (graficamente, in due dimensioni per esempio, posso coprire tutti i punti del piano con due vettori (moltiplicandoli per uno scalare), ma uno stesso punto non può essere coperto da due vettori diversi);
se non ha rango massimo può avere più soluzioni (graficamente, in due dimensione per esempio, non copro tutti i punti, ma solo quelli nella direzione dei vettori (moltiplicati per uno scalare) e lo stesso punto lo posso ottenere moltiplicando vari vettori per scalari diversi);

non mi è ancora chiaro il perchè se ha rango massimo, allora è "invertibile" (e viceversa). Non vedo proprio nessuna correlazione tra queste due cose, scusa
Tu dici "se è invertibile" allora avrà una e una sola soluzione, ma come fai a dirlo? Lo prendi come una definizione?

p.s. Effettivamente questo teorema lo ho usato altre volte, ma lo ho sempre preso erroneamente come una "definizione"...

[dissonance]

Non è un grosso errore, in effetti più che una "definizione" questa è una "caratterizzazione" delle matrici invertibili:

Caratterizzazione delle matrici invertibili
Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se per ogni vettore colonna $y$ esiste uno ed un solo vettore colonna $x$ tale che $Ax=y$.

Comunque, vero questo, è immediato dimostrare che se $A$ ha le colonne linearmente indipendenti allora è invertibile. Infatti le colonne di $A$ formano una base di $K^n$, quindi per ogni vettore $y$ esiste una $n$-upla $(x_1 ldots x_n)$ tale che $y=x_1A_1+...+x_nA_n$, ovvero - posto $x=[[x_1], [vdots], [x_n]]$ -

$y=Ax$.

Chiaro? Questa formula $Ax=x_1A_1+...+x_nA_n$ ricordatela sempre perché è molto importante, infatti è in questa formula l'intera idea della rappresentazione mediante matrici delle applicazioni lineari.

[markzzz]

già, forse con quella "caratterizzazione" è più facile dimostrare questo teorema, ma è un'altra definizione da quella che è (e che ho sempre saputo) la definizione di matrice invertibile :

Una matrice si dice invertibile se $A^-1*A=I=A*A^-1$

Sono correlate? (sicuramente si...ma non lo vedo...arghhh)

[dissonance]

Infatti una "caratterizzazione" è una cosa che si deve dimostrare. Secondo me è più semplice e chiaro dimostrare che la "caratterizzazione" è equivalente alla "definizione" e poi servirsi di questa per dimostrare il risultato. Sapresti dimostrare la "caratterizzazione"? Una delle due implicazioni è facile: se $A$ è invertibile allora per ogni $y$ l'equazione $Ax=y$ ha una e una sola soluzione. Questo è molto semplice da vedere. L'altra è più sottile. Se per ogni $y$ l'equazione $Ax=y$ ha una e una sola soluzione allora in particolare per $y=[[0], [vdots], [1], [vdots], [0]]=e_i$ (colonna avente tutte le entrate nulle tranne la $i$-esima) esiste un unico vettore $x_i$ tale che $Ax_i=e_i$. Chi è la matrice $B=[x_1, ldots, x_n]$, le cui colonne sono i vettori $x_i$?

Naturalmente puoi anche seguire un'altra strada, figuriamoci. Volendo puoi anche dimostrare il risultato in questione partendo direttamente dalla definizione, e non è tanto diverso dalla dimostrazione che abbiamo fabbricato noi prima.

[markzzz]

Scusa, non credo di seguirti. Ad ogni modo io dovrei dimostrarlo con $A*A^T=I=A^T*A$ ...

Fà niente! Grazie comunque per l'aiuto

[hamming_burst]

@markzzz: vorrei darti un consiglio, ripassati questi argomenti con questo testo:

https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html

fatto da un fantastico utente del forum; è scritto in modo chiaro ed esplicito, io ho chiarito da li i miei dubbi.

[markzzz]

Si avevo già dato un occhiata a dire il vero. Però è visto più dal punto di vista dell'algebra lineare pura, non come sul Cormen

Però mi sà che dovrò leggerlo bene comunque...