Matrice parametrica e rette

[laurelda]

Ciao a tutti, sono ancora io
Sono bloccata su un esercizio che non so proprio come va risolto. Il testo è questo:
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Si consideri la matrice parametrica $ A_t=( ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , t ) ) $ al variare di $ tin RR $.
Si determinino due rette $l$ e $h$ in $RR^3$ tali che $ A_4\cdot l!= l $ e $ A_4\cdot h= h $. Quante rette $b$ in $RR^3$ hanno la proprietà che $ A_2\cdot b= b $ ?

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So che l'autospazio è geometricamente rappresentato da una retta passante per l'origine (0,0), ma non so se in questo esercizio possa tornare utile, non saprei nemmeno come applicarlo dato che non so nemmeno come partire...

Grazie

[Sk_Anonymous]

Si tratta di trovare gli autovalori della matrice data. Nel caso di $t=4$, questi autovalori sono :
$\lambda_1=1$ (semplice), $\lambda_2=3$ ( doppio) .
Di questi il primo corrisponde all'autospazio di equazioni :
\begin{cases}x-z=0\\y+3z=0\end{cases}
che è la retta che risolve il quesito $A_4\cdot h=h$
Il secondo corrisponde all'autospazio di equazioni :
\begin{cases}x+z=0\\y+z=0\end{cases}
che è la retta che risolve il quesito $A_4 \cdot l \ne l$
Nel caso $t=2$ si ha un solo autovalore reale $\lambda=1$. L'autospazio corrispondente ha equazioni:
\begin{cases}x-z=0\\y+z=0\end{cases}
che è l'unica retta, in questo caso particolare (t=2), che risolve il quesito $A_2\cdot b=b$

[laurelda]

Grazie per la risposta! Quindi non ero lontana dalla soluzione, quando si parla di rette si devono trovare gli autospazi, il problema è che non avevo capito che erano proprio $l$, $h$ e $b$ (pensavo a chissà quale trasformazione da fare, non ho idea del perchè), e infine bastava calcolare i prodotti dati nel testo Ora ci sono! Grazie mille!