Matrice ortogonale che diagonalizza P

[Planets]

Data la matrice A= $ ( ( 0 , -1 , 1 ),( -1 , 0 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $ ,
Giustificare il fatto che la matrice sia ortogonalmente diagonalizzabile è trovare una matrice ortogonale Q che la diagonalizzi.

So che la matrice è diagonalizzabile poiché A è simmetrica, per trovare la matrice ortogonale ho pensato di calcolare gli autospazi relativi agli autovalori e procedere con il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt ma il risultato non mi torna,
È sbagliato procedere in questo modo?
Grazie

[feddy]

Esatto, il fatto che la matrice sia simmetrica ci garantisce (tramite il teorema spettrale) che esiste una matrice ortogonale $P$ tale per cui $P^TAP=D$.

il procedimento che esponi va bene, posta i tuoi calcoli e vediamo cosa non funziona..il risultato qual è ?

[Planets]

Ho trovato gli autovalori -1 con molteplicità 2 e 2 con molteplicità pari a 1.
L'autospazio relativo a -1 è:V=L((1,1,0),(-1,0,1))
Mentre quello relativo a 2 è:V=L((1,-1,1))

Quindi D= $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $

Mentre P= $ ( ( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ , ( se cambio l'ordine degli autovettori nelle colonne è indifferente?)

V1=(-1,0,1)
E1=Vers(v1)=(-1/(√2), 0, 1/(√2))

V2=(1,1,0)
a2= v2-(v2 e1)e1 = (1/2, -1, 1/2)
e2=vers(a2)= (1/2,-1,1/2)*√(2/3)=(1/(√6),-√(2/3),1/(√6))

V3=(1,-1,1)
a3=v3-(v3 e1)e1 -(v3 e2)e2 = (1,-1,1)-((-1/(√2),0,1/(√2))(-1/(√2),0,1/(√2)))-((1/(√6),√(2/3),1/(√6))(1/(√6),-√(2/3),1/(√6)))=
(1,-1,1)-(1/2,0,1/2)-(1/6,-2/3,1/6)=(1/3,1/3,1/3)
E3=(1/3,1/3,1/3)

Disponendoli in colonna dovrei quindi ottenere Q ma come risultato mi da
Q= $ ( ( -1/(√2) , 1/(√6) , 1/(√3) ),( 0 , (√2)/(√3) , 1/(√3) ),( 1/(√2) , -1/(√6) , 1/(√3) ) ) $

[feddy]

"Planets":
Mentre P= $ ( ( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ , ( se cambio l'ordine degli autovettori nelle colonne è indifferente?)

cambiare l'ordine degli autovettori cambia l'ordine degli autovalori nella matrice diagonale

Scusa se te lo chiedo, ma potresti scrivere in LaTex ? Non riesco a capire alcuni passaggi..

[Planets]

Ci provo..

E1=Vers(v1)= $ ( -1/(√2) \ \ 0 \ \ 1/(√2) ) $
e2=vers(a2)= $ ( 1/(√6) \ \ -√(2/3) \ \ 1/(√6) ) $

a3=v3-(v3 e1)e1 -(v3 e2)e2 = $ ( 1 \\ -1 \\ 1 ) $ - ( $ ( -1/(√2) \\ 0 \\ 1/(√2) ) $ * $ ( -1/(√2) \\ 0 \\ 1/(√2) ) $
)- ( $ ( 1/(√6) \\ √(2/3) \\ 1/(√6) ) $ * $ ( 1/(√6) \\ -√(2/3) \\ 1/(√6) ) $ ) =
(1,-1,1)-(1/2,0,1/2)-(1/6,-2/3,1/6)=(1/3,1/3,1/3)

[Planets]

Oddio spero si capisca meglio di prima :S

[feddy]

i primi due vettori mi vengono come i tuoi, il terzo $((1/sqrt(3)),(-1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)))$...

[Planets]

Tutto giusto alla fine avevo sbagliato un segno,
grazie feddy