Matrice non diagonalizzabile

[Naraku93]

Ragazzi ho un problema con questo esercizio:
Sia a un parametro reale e $fa$ un endomorfismo di $R^3$ tale che
$fa(0, 1, 1) = (2, a − 1, a − 1), fa(1, 0, 1) = (2, 0, 2), fa(1, 1, 0) = (2, a + 1, a − 1)$

1) determinare, se esiste, un valore di a per cui l’endomorfismo $fa$ non è diagonalizzabile.

Io ho trovato la matrice rispetto alla base canonica:

$((1,1,1),(1,a,-1),(1,a-2,1))$

Però non so proprio come procedere per trovare un valore che non renda diagonalizzabile tale matrice

[Magma1]

"Naraku93":

$f_a : qquad RR^3-> RR^3$

$f_a((0, 1, 1)) = ((2, a − 1, a − 1))$

$f_a((1, 0, 1)) = ((2, 0, 2))$

$f_a((1, 1, 0)) = ((2, a + 1, a − 1))$

[…]
Io ho trovato la matrice rispetto alla base canonica:

$((1,1,1),(1,a,-1),(1,a-2,1))$

Come hai ricavato la matrice rappresentativa?

[Naraku93]

Ho sfruttato la linearità dell'endomorfismo:
Ho trovato le coordinate dei vettori della base canonica rispetto a (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) e poi ho applicato l'endomorfismo.
Ad esempio: (1,0,0) = $1/2 * ((1,1,0) + (1,0,1) - (0,1,1)) $ e quindi $ f(1,0,0) = 1/2 * (f(1,1,0) + f(1,0,1) - f(0,1,1)) $

[Magma1]

[ot]

"Naraku93":


$ f((1),(0),(0)) = 1/2 * (f((1),(1),(0)) + f((1),(0),(1)) - f((0),(1),(1)) ) $

$=1/2*[((2),( a − 1), (a − 1)) + ((2),( 0), (2)) - ((2), (a + 1), (a − 1))] =1/2 ((6),(-2),(2))$

quindi

$M_(E E)(f)=((3,*,*),(-1,*,*),(1,*,*))$

Giusto?[/ot]

[Naraku93]

Il procedimento è giusto ma credo che i calcoli siano sbagliati (2+2-2 = 4)
Ed hai invertito le immagini di f(1,1,0) e f(0,1,1)

[Magma1]

"Naraku93":Ed hai invertito le immagini di f(1,1,0) e f(0,1,1)

Avevo dato per scontato che fossero nell'ordinato della traccia; tralasciamo i calcoli che non è aria



Considerato un endomorfismo $f: qquad V->V$ con $dim(V)

$lambda \text{ è autovalore} hArr EE vnebar(0) \text{ tale che } f(v)=lambda v, qquad lambda in RR$

ciò, introducendo la seguente funzione $f_lambda: V->V$, equivale a dire che

$ker(f_lambda)ne{bar0} hArr f_lambda \text{ non è iniettiva} hArr f_lambda \text{ non è isomorfismo} $

quindi occorre solo imporre che $f_lambda$ sia un isomorfismo; in che modo opereresti?

[Naraku93]

Non ho capito bene il tuo ultimo passaggio, cosa ottengo nell'imporre che f sia un isomorfismo?
Comunque mi è venuta un'idea, da un passaggio precedente si viene a sapere che 2 è un autovalore di f per ogni a.
Se calcolo la matrice (A-2I) devo trovare qualche valore di a che mi renda la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore 2 diversa dalla dimensione della molteplicità algebrica di 2.
Il problema è che non riesco a calcolare il polinomio caratteristico della matrice, c'è un modo più rapido per ottenere la molteplicità algebrica?

[Magma1]

"Naraku93":
Comunque mi è venuta un'idea, da un passaggio precedente si viene a sapere che 2 è un autovalore di f per ogni a.

Se $2 \text{ è autovalore } AA a in RR$, allora direi che è inutile andare a cercare il valore di $a$ per cui $2$ non sia autovalore; non credi?

"Naraku93":Non ho capito bene il tuo ultimo passaggio, cosa ottengo nell'imporre che $f_lambda$ sia un isomorfismo?

Dato il polinomio caratteristico ottenuto applicando lo sviluppo di Laplace sulla prima riga:

$P(lambda)=(1-lambda)^2(a-lambda)+(1-lambda)(a-2)+2lambda-4$

si ha che $lambda$ non è autovalore se $EE a in RR : qquad P(lambda)ne0$ ([nota]ma potrei anche sbagliarmi: è la prima cosa che mi è venuta in mente [/nota]).