Matrice nilpotente

[delca85]

Ciao ragazzi!Qualcuno mi aiuta a dimostrare che se $A$ è una matrice nilpotente,allora $(A+I)$ è invertibile?
Grazie

[pat871]

Dim:
Se $A$ è nilpotente, allora $A^n = 0$, per un certo $n in NN$.
Allora vale anche $A^m = 0$, $m ge n$, $m in NN$.
Consideriamo $I = I - A^(n+1) = (I + A)*(I - A + A^2 - ... - A^n)$
Allora $(I - A + A^2 - ... - A^n) = (I + A)^(-1)$
C.V.D.

[delca85]

Grazie!Avevo provato a fare un discorso con le potenze ma non ero arrivata fino a qua.
Ciao!

[franced]

"delca85":Ciao ragazzi!Qualcuno mi aiuta a dimostrare che se $A$ è una matrice nilpotente,allora $(A+I)$ è invertibile?
Grazie

Non è difficile, se pensi che l'unico autovalore di una matrice nilpotente è zero.

Pensa alla forma di Jordan, aggiungi $1$ alla diagonale e il gioco è fatto:
la matrice $(A+I)$ ha $lambda = 1$ come unico autovalore.

[delca85]

Giusto!Non avevo pensto alle matrici di Jordan..Grazie!

[franced]

"delca85":Giusto!Non avevo pensto alle matrici di Jordan..Grazie!

La forma di Jordan è molto utile nella dimostrazione di questi esercizi.

[delca85]

Hai ragione,il fatto è che non ci avevo proprio pensato perchè era un esercizio di ripasso da fare pre esame orale e me l'avevano dato molto prima di fare le matrici di Jordan,quindi non avevo pensato di usarle..
Effettivamente è molto utile in casi così!Grazie!