Matrice KXK come somma di K matrici di rango 1

[Sk_Anonymous]

A pag. 997 di "Green, Econometric Analysis, 7th edition" si legge

"William Green":
Spectral decomposition of a matrix
Spectral decomposition of matrix A is

\( \displaystyle A = C \Lambda C = \sum\limits_{k=1}^K \lambda_k \textbf{c}_k \textbf{c}^{'}_k \)

Legenda:

Lettere minuscole in grassetto indicano vettori.
La colonna \( i \) della matrice C contiene l'autovettore \( \textbf{c}_i \) che corrisponde all'autovalore \( \lambda_i \)
La matrice A ha dimensione \( K \times K \)
\( \Lambda \) è una matrice diagonale. \( \Lambda_{ii} = \lambda_{i} \forall i=1, \cdots, K \)
\( \textbf{c}_k \) è un vettore colonna che DOVREBBE contenere la colonna \( k \) della matrice C (pag. 975, con l,m,k vengono indicate le colonne della matrice, mentre un vettore non trasposto è sempre un vettore colonna)

La domanda è: dove trovo una dimostrazione dell'ultima uguaglianza?

Sono riuscito a fare un esempio in cui

A, B hanno dimensione \( 2 \times 2 \)
\( A \times B = \sum\limits_{i=1}^{2} A_{*,i} \cdot B_{i,*} \)
dove \( A_{*,i} \) è la \( i \)esima colonna di A e \( B_{i,*} \) è la \( i \)-esima riga di B. Ma qui il prodotto scalare è colonna di una per riga dell'altra, e non colonna di una per colonna trasposta dell'altra, come è nel Green

Non so se sono stato chiaro .....

[Sk_Anonymous]

Credo di avere trovato la risposta, anche se nell'ultima edizione di quel libro tal sezione sembra scomparsa

[Pappappero1]

Stai cercando una dimostrazione del Teorema spettrale? Questo non si applica a matrici qualsiasi. Servono ipotesi sulla matrice (ad esempio la simmetria se e' una matrice a coefficienti reali).

Stai cercando piu' in generale la dimostrazione del fatto che una matrice $k \times k$ si puo' scrivere come somma di $k$ matrici di rango $1$? Questo e' facile: data $A$, basta prendere per ogni $i$, la matrice $B_i$ che e' nulla ovunque tranne nella $i$-esima riga e la $i$-esima riga di $B$ coincide con la $i$-esima riga di $A$. Allora $A = B_1 + ... + B_k$.