Matrice inversa destra e sinistra
Salve, avrei bisogno di sapere cosa sono le matrici destre e sinistre.
si applicano sempre alle quadrate o alle rettangolari???
mi potreste fare qualche esempiio anche su come calcolarle??
si applicano sempre alle quadrate o alle rettangolari???
mi potreste fare qualche esempiio anche su come calcolarle??
Risposte
io ti consiglierei di studiare per bene la teoria: non sono concetti difficili. si tratta sostanzialmente di definizioni ed anche il metodo per determinarle è veramente "elementare".
il concetto di matrice inversa può essere introdotto sia per matrici quadrate che per matrici rettangolari (prestando attenzione alla dimensione delle matrici).
per calcolarla applica la definizione con una matrice incognita e risolvi il sistema associato che ne viene fuori: è meccanico ma veramente semplice ed intuitivo
il concetto di matrice inversa può essere introdotto sia per matrici quadrate che per matrici rettangolari (prestando attenzione alla dimensione delle matrici).
per calcolarla applica la definizione con una matrice incognita e risolvi il sistema associato che ne viene fuori: è meccanico ma veramente semplice ed intuitivo
Ti consiglierei anche io di seguire passo passo un buon libro di teoria e ti assicuro (dato che sto studiando anche io e sono alle prime armi con algebra lineare) che è l'unico modo per costruire qualcosa. Non è che non avrai dubbi, ne avrai eccome e sognerai calcoli anche di notte -purtroppo non scherzo XD-, ma solo gettando delle basi solide credo si possa arrivare a qualcosa.
In questo forum ho trovato grande aiuto, fidati dei consigli
In questo forum ho trovato grande aiuto, fidati dei consigli
il problema è che sul mio libro non sta spiegato in maniera esaustiva ma soltanto un accenno
Che facoltà fai, per capire e inquadrare come conviene affrontarla (per quel poco che posso consigliare essendo matricola )
)
"staultz":
Che facoltà fai, per capire e inquadrare come conviene affrontarla (per quel poco che posso consigliare essendo matricola
ingegneria
Spero di poter formulare una risposta esaustiva e a te comprensibile.
Come sappiamo le matrici possono essere quadrate (numero di righe e colonne uguali) e "rettangolari" (numero di righe e colonne diverso). L'invertibilità destra e sinistra cade proprio sulle matrici "rettangolari". Per capire se una matrice è invertibile a destra e a sinistra bisogna vedere se la matrice "soddisfa" le seguenti proprietà:
Suriettività: Quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. (Invertibile a destra)
Iniettività: Quando due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. (Invertibile a sinistra)
Bigettività: Quando è sia suriettiva che iniettiva. (Invertibile sia a destra che a sinistra)
Per quanto riguarda le matrici e per una maggiore semplicità, sai per certo che una funzione è suriettiva quando è "rettangolare bassa" (righe > colonne) e sai per certo che una funzione è iniettiva quando è "rettangolare alta" (colonne > righe).
Per farti capire meglio, tu hai una matrice di ordine m*n:
\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\ e & f\end{bmatrix}
Con un numero di colonne maggiore del numero di righe. Questa matrice è iniettiva e quindi invertibile a sinistra:
\[R^2\mapsto R^3\]
Ho in R^2 il dominio e in R^3 il codominio. La matrice non può essere suriettiva perché ogni elemento del codominio deve essere immagine di almeno un elemento del dominio, e qui il dominio è "infinitamente piccolo" rispetto al codominio (Può essere sbagliato ma puoi considerare \[R^2\] come un piano e \[R^3\] come uno spazio, lo spazio sarà infinitamente più grande del piano).
Qui un'altra matrice di ordine m*n
\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \end{bmatrix}
Con un numero di righe maggiore del numero di colonne. Questa è invece suriettiva:
\[R^3\mapsto R^2\]
Ho in R^3 il dominio e in R^2 il codominio. Affinché la matrice sia iniettiva, un elemento del dominio deve associare un solo elemento del codominio, e qui non è affatto possibile perché il dominio è infinitamente grande rispetto al codominio e di conseguenza per fare in modo che ogni elemento del codominio sia associato dobbiamo associare una quantità di n-elementi a un elemento del codominio (spero sia comprensibile); la casistica perfetta per la suriettività.
Per quanto riguarda il calcolo, è molto simile se non praticamente identico al procedimento di inversa, con l'unica differenza che solitamente ci si ferma quando si sono "definiti" i pivot della matrice (e quindi si "crea" una matrice triangolare superiore). Un esempio:
\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
Questa matrice ha dominio R^4 e codominio R^3, quindi suriettiva. Arrivato a questo punto si procede con il "creare" il sistema lineare. In questo caso abbiamo 4 incognite e quindi bisognera risolvere 3 sistemi lineari di quattro incognite (quindi lasciandone una "fuori", creando un grado di libertà per ogni incognita):
\begin{cases}x+2y-z+3t = 1\\0x+y+3z-t=0\\0x+0y-2z+t=0\end{cases}
Ora ti chiederai: "Perché ha messo 1 alla prima e 0 alla seconda e terza?"
Presto detto. Mi baso sulla matrice identità [1 0 0 0 1 0 0 0 1]. La prima colonna ha come elementi 1 0 0, quindi il primo sistema lineare avrà come termini noti 1 0 0, il secondo 0 1 0 e così via.
Si risolve il sistema lineare e ottengo questo risultato (Io mi trovo x, y e t, ma puoi fare come vuoi, il risultato sarà quello:
\begin{cases}x=5z+1\\y=-5z\\t=2z\end{cases}
Si scrivono i risultati in una matrice dove le incognite saranno disposte in tal modo:
\begin{bmatrix}\ x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix}
E si conclude:
\begin{bmatrix}\ 5z+1 \\ -5z \\ z \\ 2z \end{bmatrix}
Ovviamente questo procedimento va fatto anche per gli altri due sistemi lineari, ma spero che sia comprensibile.
Lo stesso procedimento vale anche per una matrice iniettiva.
Spero sia stato d'aiuto.
P.S: Anch'io sono uno studente d'ingegneria che ha avuto un primo approccio con l'algebra lineare. Sicuramente avrò problemi a cui dovrò dare una risposta, ma è per tale motivo che esistono questi siti. Un grande in bocca al lupo per la tua carriera universitaria!
P.S 2: Per ogni errore non esitate a correggermi.
Come sappiamo le matrici possono essere quadrate (numero di righe e colonne uguali) e "rettangolari" (numero di righe e colonne diverso). L'invertibilità destra e sinistra cade proprio sulle matrici "rettangolari". Per capire se una matrice è invertibile a destra e a sinistra bisogna vedere se la matrice "soddisfa" le seguenti proprietà:
Suriettività: Quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. (Invertibile a destra)
Iniettività: Quando due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. (Invertibile a sinistra)
Bigettività: Quando è sia suriettiva che iniettiva. (Invertibile sia a destra che a sinistra)
Per quanto riguarda le matrici e per una maggiore semplicità, sai per certo che una funzione è suriettiva quando è "rettangolare bassa" (righe > colonne) e sai per certo che una funzione è iniettiva quando è "rettangolare alta" (colonne > righe).
Per farti capire meglio, tu hai una matrice di ordine m*n:
\begin{bmatrix}a & b \\c & d \\ e & f\end{bmatrix}
Con un numero di colonne maggiore del numero di righe. Questa matrice è iniettiva e quindi invertibile a sinistra:
\[R^2\mapsto R^3\]
Ho in R^2 il dominio e in R^3 il codominio. La matrice non può essere suriettiva perché ogni elemento del codominio deve essere immagine di almeno un elemento del dominio, e qui il dominio è "infinitamente piccolo" rispetto al codominio (Può essere sbagliato ma puoi considerare \[R^2\] come un piano e \[R^3\] come uno spazio, lo spazio sarà infinitamente più grande del piano).
Qui un'altra matrice di ordine m*n
\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \end{bmatrix}
Con un numero di righe maggiore del numero di colonne. Questa è invece suriettiva:
\[R^3\mapsto R^2\]
Ho in R^3 il dominio e in R^2 il codominio. Affinché la matrice sia iniettiva, un elemento del dominio deve associare un solo elemento del codominio, e qui non è affatto possibile perché il dominio è infinitamente grande rispetto al codominio e di conseguenza per fare in modo che ogni elemento del codominio sia associato dobbiamo associare una quantità di n-elementi a un elemento del codominio (spero sia comprensibile); la casistica perfetta per la suriettività.
Per quanto riguarda il calcolo, è molto simile se non praticamente identico al procedimento di inversa, con l'unica differenza che solitamente ci si ferma quando si sono "definiti" i pivot della matrice (e quindi si "crea" una matrice triangolare superiore). Un esempio:
\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3\\0 & 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
Questa matrice ha dominio R^4 e codominio R^3, quindi suriettiva. Arrivato a questo punto si procede con il "creare" il sistema lineare. In questo caso abbiamo 4 incognite e quindi bisognera risolvere 3 sistemi lineari di quattro incognite (quindi lasciandone una "fuori", creando un grado di libertà per ogni incognita):
\begin{cases}x+2y-z+3t = 1\\0x+y+3z-t=0\\0x+0y-2z+t=0\end{cases}
Ora ti chiederai: "Perché ha messo 1 alla prima e 0 alla seconda e terza?"
Presto detto. Mi baso sulla matrice identità [1 0 0 0 1 0 0 0 1]. La prima colonna ha come elementi 1 0 0, quindi il primo sistema lineare avrà come termini noti 1 0 0, il secondo 0 1 0 e così via.
Si risolve il sistema lineare e ottengo questo risultato (Io mi trovo x, y e t, ma puoi fare come vuoi, il risultato sarà quello:
\begin{cases}x=5z+1\\y=-5z\\t=2z\end{cases}
Si scrivono i risultati in una matrice dove le incognite saranno disposte in tal modo:
\begin{bmatrix}\ x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix}
E si conclude:
\begin{bmatrix}\ 5z+1 \\ -5z \\ z \\ 2z \end{bmatrix}
Ovviamente questo procedimento va fatto anche per gli altri due sistemi lineari, ma spero che sia comprensibile.
Lo stesso procedimento vale anche per una matrice iniettiva.
Spero sia stato d'aiuto.
P.S: Anch'io sono uno studente d'ingegneria che ha avuto un primo approccio con l'algebra lineare. Sicuramente avrò problemi a cui dovrò dare una risposta, ma è per tale motivo che esistono questi siti. Un grande in bocca al lupo per la tua carriera universitaria!
P.S 2: Per ogni errore non esitate a correggermi.
"lepre561":
il problema è che sul mio libro non sta spiegato in maniera esaustiva ma soltanto un accenno
basta fare una ricerca in internet per sopperire al problema.
una conversazione a mio avviso interessante è questa
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