Matrice inversa

[salsa88]

salve a tutti...tra le varie applicazioni del teorema di hamilton-caley nel mio programma ho trovato: calcolo della matrice inversa...
qualcuno mi saprebbe spiegare come funziona? oppure se conoscete qualke sito dove lo spiega mi passate il link.
Grazie mille

[Dorian1]

Se $A$ è una matrice $n$x$n$ invertibile e $P_A(x)=sum_(i=0)^n lambda_ix^i$ il suo polinomio caratteristico, il teorema dice che:

$P_A(A)=0_n$ cioè $sum_(i=0)^n lambda_iA^i=0_n$

portando a destra il termine noto:

$sum_(i=1)^(n) lambda_iA^i=lambda_0I_n$

$Asum_(i=1)^(n) lambda_iA^(i-1)=lambda_0I_n$ e quindi:

$A^-1=(sum_(i=1)^(n) lambda_iA^(i-1))/lambda_0$

[vikingo_cattivo]

Un ulteriore metodo più semplice e veloce per calcolare la matrice inversa di una matrice A nxn, consiste nell'affiancare la matrice A con una matrice unità (I nxn) ottenendo una "matrice aumentata" (A|I) del tipo:

a11 a12 ... a1n __ 1 0 0 ... 0
a21 a22 ... a2n __ 0 1 0 ... 0
... ... ... ... .... __ ... ... ... 0
an1 an2 ... ann __ 0 0 0 ... 1

quindi esegure delle operazioni di permutazioni per righe sulla matrice aumentata (scambio di righe o sostituzione di una riga col risultato della somma di quest'ultima con un'altra riga moltiplicata per un coefficiente appropriato), fino ad ottenere una matrice aumentata ove al posto di A avremo la matrice unità...al posto di I ora avremo una ulteriore matrice che è quindi la matrice inversa di A, ovvero ci ritroveremo ad avere una matrice aumentata (I|A^-1).

Naturalmente tutto ciò è possibile solo se le matrice è invertibile.

Come verifica si dovrebbe ottenere la matrice unità I dal prodotto della matrice A con la ricavata matriceA^-1.

[Megan00b]

vikingo, quello che dici si chiama metodo di Jordan-Gauss ma non è una diretta applicazione del teorema di Hamilton-Cayley. E non è nemmeno tanto semplice.

[vikingo_cattivo]

Chiedo scusa, pansavo necessitasse solo del calcolo della matrice inversa...cmq come calcolo è molto diretto...perlomeno non ho mai trovato particolari difficoltà.

[Megan00b]

Tranquillo. Il problema sta tutto in quel "coefficiente appropriato" come lo hai chiamato tu. Esiste un metodo per ridurre al minimo le sostituzioni necessarie (n-1 ove n è l'ordine della matrice). Se tiri ad indovinare non è un metodo intelligente. Immagino tu ti riferissi al metodo "controllato".

[salsa88]

"Dorian":Se $A$ è una matrice $n$x$n$ invertibile e $P_A(x)=sum_(i=0)^n lambda_ix^i$ il suo polinomio caratteristico, il teorema dice che:

$P_A(A)=0_n$ cioè $sum_(i=0)^n lambda_iA^i=0_n$

portando a destra il termine noto:

$sum_(i=1)^(n) lambda_iA^i=lambda_0I_n$

$Asum_(i=1)^(n) lambda_iA^(i-1)=lambda_0I_n$ e quindi:

$A^-1=(sum_(i=1)^(n) lambda_iA^(i-1))/lambda_0$

A proposito di questa bella spiegazione ke mi hai dato...ho trovato un esercizio ke lasciò tempo fa il mio professore. Il testo dice:
Siano $A$ appartenente a $V$ e $p(h)=h^2-3h+1$ il polinomio caratteristico di A.
Provare che A è invertibile e ricavare l'inversa di A in funzione di A.

Provando come mi hai detto tu, avrei:
$A^2-3A=-1$
$A(A-3)=-1$
da cui: $A^-1=3-A$ è possibile che sia questa l'inversa???