Matrice elevata a potenza
Per calcolare una matrice elevata a potenza si dovrebbe applicare il teorema di Hamilton-Cayley ma navigando sul web ho trovato un secondo metodo che dovrebbe essere più sbrigativo ma che comprendo solo in parte.
Ecco la formula:
$ A^k=BDB^-1=B((lambda_1^k,0,0),(0,lambda_2^k,0),(0,0,lambda_3^k))B^-1 $
La matrice D è ottenuta mettendo sulla diagonale gli autovalori ottenuti ma non riesco a determinare la matrice B, ovvero la matrice diagonalizzante. Qualcuno conosce questo metodo?
Ecco la formula:
$ A^k=BDB^-1=B((lambda_1^k,0,0),(0,lambda_2^k,0),(0,0,lambda_3^k))B^-1 $
La matrice D è ottenuta mettendo sulla diagonale gli autovalori ottenuti ma non riesco a determinare la matrice B, ovvero la matrice diagonalizzante. Qualcuno conosce questo metodo?
Risposte
Si chiama Diagonalizzazione 
Non è affatto banale, partiamo dalla definizione:
"Una matrice \(\displaystyle A \) si dice diagonalizzabile se e solo se esiste una opportuna matrice \(\displaystyle P \) invertibile tale che: \(\displaystyle P^{-1}AP=D \), con \(\displaystyle D \) matrice diagonale."
Ora sapresti provare a dimostrare che se \(\displaystyle D \) esiste allora ha come elementi sulla diagonale gli autovalori di \(\displaystyle A \) e se \(\displaystyle P \) esiste ha come colonne gli autovettori di \(\displaystyle A \)?
Se trovi difficoltà lo facciamo insieme
Non è affatto banale, partiamo dalla definizione:
"Una matrice \(\displaystyle A \) si dice diagonalizzabile se e solo se esiste una opportuna matrice \(\displaystyle P \) invertibile tale che: \(\displaystyle P^{-1}AP=D \), con \(\displaystyle D \) matrice diagonale."
Ora sapresti provare a dimostrare che se \(\displaystyle D \) esiste allora ha come elementi sulla diagonale gli autovalori di \(\displaystyle A \) e se \(\displaystyle P \) esiste ha come colonne gli autovettori di \(\displaystyle A \)?
Se trovi difficoltà lo facciamo insieme
Purtroppo no, per me per ora è solo un dogma ahah
E se ti dicessi che \(\displaystyle P^{-1}AP=D \) è la stessa cosa di \(\displaystyle AP=PD \) 
Prova a svolgere quei prodotti con degli elementi generici \(\displaystyle a_{ij} \) e vedi cosa viene fuori.
Prova a svolgere quei prodotti con degli elementi generici \(\displaystyle a_{ij} \) e vedi cosa viene fuori.
ho fatto il bump erroneamente, scusate!
alura,
dato che $AP=PD$ dovrebbe essere $a_{ij}p_{ji}=p_[ij}d_{ji}$, poi dato che la matrice $D$ e' diagonale dovrebbe essere che $d_{ij}= 0\ i\not= j, d_{ij}\not= 0 i=j$, ovvero, usando il delta di Kroenecker $d_{ij}\ \delta_{ij}$, e poi...
non so come andare avanti ...
dato che $AP=PD$ dovrebbe essere $a_{ij}p_{ji}=p_[ij}d_{ji}$, poi dato che la matrice $D$ e' diagonale dovrebbe essere che $d_{ij}= 0\ i\not= j, d_{ij}\not= 0 i=j$, ovvero, usando il delta di Kroenecker $d_{ij}\ \delta_{ij}$, e poi...
non so come andare avanti ...
\(\displaystyle AP=PD \)
\(\displaystyle A\left [ X_1 \ X_2 \ ... \ X_i \right ] = \left [X_1 \ X_2 \ ... \ X_i \right ]\begin{bmatrix}
\lambda_1 & ... & 0\\
...&... &... \\
0&... & \lambda_i
\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle AX_i= \lambda_i X_i \)
\(\displaystyle A\left [ X_1 \ X_2 \ ... \ X_i \right ] = \left [X_1 \ X_2 \ ... \ X_i \right ]\begin{bmatrix}
\lambda_1 & ... & 0\\
...&... &... \\
0&... & \lambda_i
\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle AX_i= \lambda_i X_i \)
"Nicocata":
Per calcolare una matrice elevata a potenza si dovrebbe applicare il teorema di Hamilton-Cayley ma navigando sul web ho trovato un secondo metodo che dovrebbe essere più sbrigativo ma che comprendo solo in parte.
Ecco la formula:
$ A^k=BDB^-1=B((lambda_1^k,0,0),(0,lambda_2^k,0),(0,0,lambda_3^k))B^-1 $
La matrice D è ottenuta mettendo sulla diagonale gli autovalori ottenuti ma non riesco a determinare la matrice B, ovvero la matrice diagonalizzante. Qualcuno conosce questo metodo?
Tieni presente che quanto dici è, in generale, falso. Non è detto che $A$ sia diagonalizzabile.
"Gabriele.Sciaguato":
Tieni presente che quanto dici è, in generale, falso. Non è detto che $ A $ sia diagonalizzabile.
per l'utente Nicocata, ti dico alcuni criteri per far si che la matrice è diagonalizzabile..
condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice sia diagonalizzabile.. a lezione il prof ci aveva detto questo teorema
Un endoformismo $ f\in End(RR^n) $ è diagonalizzabile se e solo se $f$ ha tutti gli autovalori reali, e per ogni autovalore, la molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica
poi l'esercitatore ci aveva dato quest'altra condizione:
Se un endomorfismo ammette $n$ autovalori distinti, allora questi sono automaticamente regolari. In generale se abbiamo $n$ autovalori distinti, abbiamo $n$ autospazi distinti, la cui dimensione deve necessariamente essere uguale a 1.
Di conseguenza la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con la sua molteplicità geometrica
per esempio questa matrice $ A=( ( 0 , 6 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ è diagonalizzabile perchè ha ben 3 autovalori distinti..e sono (ometto i calcoli) $ \lambda_1=0 \vee \lambda_2=3 \vee \lambda_3=-2 $
grazie ragazzi!
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