Matrice e prodotto vettore

[nomen1]

Ciao a tutti...vorrei controllare con voi questo esercizio.....

Sia $a=(1, 1, 1)$ appartenente a $\mathbb{R^3}$ e sia $L$ l'applicazione lineare da $\mathbb{R^3}$ a $\mathbb{R^3}$ che a ogni $x$ in $\mathbb{R^3}$ associa il prodotto vettore $L(x)=a times x$

a) qual è e come si trova la matrice che rappresenta $L$ rispetto alla base canonica?
b) $dimImL$ ?
c) scrivere una base del sottospazio $ker L$

[gugo82]

"nomen":Ciao a tutti...vorrei controllare con voi questo esercizio.....

Sia $a=(1, 1, 1)$ appartenente a $\mathbb{R^3}$ e sia $L$ l'applicazione lineare da $\mathbb{R^3}$ a $\mathbb{R^3}$ che a ogni $x$ in $\mathbb{R^3}$ associa il prodotto vettore $L(x)=a x$

a) qual è e come si trova la matrice che rappresenta $L$ rispetto alla base canonica?
b) $dimImL$ ?
c) scrivere una base del sottospazio $ker L$

Intendi che $L(x)$ è il prodotto vettoriale di $a$ ed $x$, cioè $L(x)=a times x$?

Per risolvere a) basta tener presente come si calcolano le componenti del prodotto vettoriale; per risolvere b) basta controllare il rango della matrice determinata in precedenza; per rispondere a c) basta tener presente il significato "geometrico" del prodotto vettoriale e regolarsi di conseguenza.

[nomen1]

sì....ho fatto così....mi viene

a) $((0, -1, 1), (1, 0, -1), (-1, 1, 0))$

b) $dimImL= 3$

c) base di $kerL$ il vettore nullo $(0, 0, 0)$

è giusto?

[gugo82]

"nomen":sì....ho fatto così....mi viene

a) $((0, -1, 1), (1, 0, -1), (-1, 1, 0))$

b) $dimImL= 3$

c) base di $kerL$ il vettore nullo $(0, 0, 0)$

è giusto?

a) OK.

b) no. Suggerimento: la dimensione di $"Im"(L)$ è il rango della matrice determinata prima e per determinare il rango basta ridurre a scalini con l'algoritmo di Gauss.

c) no. Suggerimento: i vettori $x$ tali che $a times x=(0,0,0)$ sono in una ben determinata relazione con $a$, quale?

[nomen1]

ok...ho sbagliato tutto......

allora:

b) riducendo a scala la matrice ho trovato che il numero delle righe non nulle è uguale a 2. Quindi $dimImL=2$....penso....

c) il $ker$ dovrebbe essere uguale allo spazio costituito dai vettori del tipo (k,k,k) quindi è una retta , quindi la dimensione è pari a 1 (tra l'altro avrei potuto capire la dimensione del $ker$ dal teorema nullità+rango, giusto?)
Una base del $ker$ potrebbe essere quindi $(1, 1, 1)$???

[gugo82]

"nomen":ok...ho sbagliato tutto......

allora:

b) riducendo a scala la matrice ho trovato che il numero delle righe non nulle è uguale a 2. Quindi $dimImL=2$....penso....

c) il $ker$ dovrebbe essere uguale allo spazio costituito dai vettori del tipo (k,k,k) quindi è una retta , quindi la dimensione è pari a 1 (tra l'altro avrei potuto capire la dimensione del $ker$ dal teorema nullità+rango, giusto?)
Una base del $ker$ potrebbe essere quindi $(1, 1, 1)$???

Esatto!

[nomen1]

ok...ce l'ho fatta...... grazie 1000 dell'aiuto....... gugo82!!!!

[franced]

"nomen":sì....ho fatto così....mi viene

a) $((0, -1, 1), (1, 0, -1), (-1, 1, 0))$

b) $dimImL= 3$

c) base di $kerL$ il vettore nullo $(0, 0, 0)$

è giusto?

In generale viene sempre una matrice antisimmetrica.
D'altra parte, avendo ordine dispari ($n=3$) il determinante è nullo;
ma questo non è così strano, poiché il Ker dell'endomorfismo
è il sottospazio generato dal vettore $a$.