Matrice diagonalizzante e Autovettori
Ciao a tutti
ho un piccolo dubbio relativo alla matrice diagonalizzante
Nel testo di alcuni esercizi ho trovato il calcolo della matrice diagonalizzante $T$ come matrice tale che, data una matrice $A$ abbiamo:
[tex]D=T^{-1}AT[/tex] con $D$ matrice diagonale
in altri esercizi (dello stesso libro) mi viene data la stessa definizione ma con:
[tex]D=T^{T}AT[/tex] con $D$ matrice diagonale, dove con [tex]T^{T}[/tex] di intende la traposta di $T$
è un errore di stampa o esiste una qualche proprietà che rende le due definizioni equivalenti?
Inoltre ho un dubbio sugli autovettori che mi generano la matrice $A$ appena usata.
Nel caso io abbia una matrice (per esempio una 3x3) con tre autovalori distinti non ho problemi a ricavare la matrice $A$, ma nel caso uno dei autovalori di $A$ abbia molteplicità maggiore di 1, come posso determinare correttamente la matrice? Il dubbio mi nasce in questo caso:
La matrice di partenza è
[tex]A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}[/tex]
che ha un autovalore $lambda_1 = 0 $ con molteplicità pari a 1 e un autovettore $lambda_2=6$ con molteplicità pari a 2
gli autovettori mi vengono:
[tex]v_{1} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
mentre il secondo il secondo autovettore (non sono sicurissimo che sia corretto) dovrebbe essere
[tex]v_{2} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
Le colonne della matrice $A$ dovrebbero essere composte dalle basi degli autospazi, ma avendo il secondo autovalore con molteplicità 2 come faccio a trovare la terza colonna? Se prendessi il secondo autovettore e cambiassi semplicemente il valore del parametri $t$ le due colonne non sarebbero linearmente indipendenti.
Qualcuno può darmi una dritta? grazie mille
ho un piccolo dubbio relativo alla matrice diagonalizzante
Nel testo di alcuni esercizi ho trovato il calcolo della matrice diagonalizzante $T$ come matrice tale che, data una matrice $A$ abbiamo:
[tex]D=T^{-1}AT[/tex] con $D$ matrice diagonale
in altri esercizi (dello stesso libro) mi viene data la stessa definizione ma con:
[tex]D=T^{T}AT[/tex] con $D$ matrice diagonale, dove con [tex]T^{T}[/tex] di intende la traposta di $T$
è un errore di stampa o esiste una qualche proprietà che rende le due definizioni equivalenti?
Inoltre ho un dubbio sugli autovettori che mi generano la matrice $A$ appena usata.
Nel caso io abbia una matrice (per esempio una 3x3) con tre autovalori distinti non ho problemi a ricavare la matrice $A$, ma nel caso uno dei autovalori di $A$ abbia molteplicità maggiore di 1, come posso determinare correttamente la matrice? Il dubbio mi nasce in questo caso:
La matrice di partenza è
[tex]A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}[/tex]
che ha un autovalore $lambda_1 = 0 $ con molteplicità pari a 1 e un autovettore $lambda_2=6$ con molteplicità pari a 2
gli autovettori mi vengono:
[tex]v_{1} = t\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
mentre il secondo il secondo autovettore (non sono sicurissimo che sia corretto) dovrebbe essere
[tex]v_{2} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
Le colonne della matrice $A$ dovrebbero essere composte dalle basi degli autospazi, ma avendo il secondo autovalore con molteplicità 2 come faccio a trovare la terza colonna? Se prendessi il secondo autovettore e cambiassi semplicemente il valore del parametri $t$ le due colonne non sarebbero linearmente indipendenti.
Qualcuno può darmi una dritta? grazie mille
Risposte
OK, come non detto... alla fine ci sono arrivato da solo.
grazie comunque a tutti
grazie comunque a tutti
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