Matrice diagonalizzante - Aiuto!!!
Ciao a tutti!!!
sono un nuovo utente e spero di aver scelto la sezione giusta per chiedere aiuto...
Mi trovo con un problema relativo ad autovalori, autovettori e matrice diagonalizzante.
l'esercizio che sto cercando di risolvere è il seguente:
data una matrice:
$ M=( ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 1 ),( 0 , -2 , 1 ) ) $
trovare gli autovalori, gli autovettori, le molteplicità algebriche e geometriche e, se possibile, trovare la matrice $T$ tale che:
$T^{-1}MT$ sia una matrice diagonale.
Ciò che sono riuscito a fare fino ad ora è:
Ho calcolato il polinomio caratteristico e mi viene $P(\lambda)=(1-\lambda)(1+\lambda)\lambda$
da cui ho tre autovalori
$\lambda_{1}=0; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=-1;$
i quali hanno tutti molteplicità algebrica uguale a 1.
Per quanto riguarda gli autovettori ho trovato:
$A_{\lambda_{1}}= \alpha( ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ) ; A_{\lambda_{2}}= \alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) ; A_{\lambda_{2}}= \alpha( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
(Credo che i calcoli siano giusti, ma per favore controllate)
Da qui sorgono i miei dubbi:
le molteplicità geometriche degli autovalori, se non sbaglio sono date da:
$MG(\lambda_{1}) = dimV-rango(M-\lambda_{1}I)$ dove $V$ è lo spazio vettoriale e $MG$ è la molteplicità geometrica.
Nel nostro caso siamo in uno spazio vettoriale $R^{3}$ quindi la dimensione è 3.
Il rango di $M-\lambda_{1}I$ a me viene pari a 2, per cui $MG(\lambda_{1}) = 3-2 = 1$
La stessa cosa è per $MG(\lambda_{2})$ e per $MG(\lambda_{3})$. In tutti e tre i casi ho molteplicità geometrica pari a 1.
Spero di aver capito bene come si calcola la molteplicità geometrica.
Ora il problema più grande nasce nel trovare la matrice diagonalizzante!!!
A quanto mi risulta la matrice $M$ è diagonalizzabile perchè:
1) la somma delle molteplicità algebriche è pari alla dimensione della matrice
2) le molteplicità geometriche degli autovalori corrispondono alle rispettive molteplicità algebriche
Ora... la matrice diagonalizzante $T$ , avevo capito che fosse una matrice formata da tre autovettori di $M$, ma non mi tornano i conti.
Io ho costruito la matrice diagonalizzante prendendo le basi degli autospazi ottenendo quindi:
$T=( ( 0 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Facendo quindi la seguente operazione $L=T^{-1}MT$ dovrei ottenere una matrice diagonale formata dagli autovalori della matrice $M$, ma invece ottengo:
$T=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),(-3 , 0 , -1 ) ) $
che ha gli autovalori sulla diagonale, ma non è una matrice diagonale.
Qualcuno sa indicarmi dove sbaglio?
Grazie mille
sono un nuovo utente e spero di aver scelto la sezione giusta per chiedere aiuto...
Mi trovo con un problema relativo ad autovalori, autovettori e matrice diagonalizzante.
l'esercizio che sto cercando di risolvere è il seguente:
data una matrice:
$ M=( ( 1 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 1 ),( 0 , -2 , 1 ) ) $
trovare gli autovalori, gli autovettori, le molteplicità algebriche e geometriche e, se possibile, trovare la matrice $T$ tale che:
$T^{-1}MT$ sia una matrice diagonale.
Ciò che sono riuscito a fare fino ad ora è:
Ho calcolato il polinomio caratteristico e mi viene $P(\lambda)=(1-\lambda)(1+\lambda)\lambda$
da cui ho tre autovalori
$\lambda_{1}=0; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=-1;$
i quali hanno tutti molteplicità algebrica uguale a 1.
Per quanto riguarda gli autovettori ho trovato:
$A_{\lambda_{1}}= \alpha( ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ) ; A_{\lambda_{2}}= \alpha( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) ; A_{\lambda_{2}}= \alpha( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
(Credo che i calcoli siano giusti, ma per favore controllate)
Da qui sorgono i miei dubbi:
le molteplicità geometriche degli autovalori, se non sbaglio sono date da:
$MG(\lambda_{1}) = dimV-rango(M-\lambda_{1}I)$ dove $V$ è lo spazio vettoriale e $MG$ è la molteplicità geometrica.
Nel nostro caso siamo in uno spazio vettoriale $R^{3}$ quindi la dimensione è 3.
Il rango di $M-\lambda_{1}I$ a me viene pari a 2, per cui $MG(\lambda_{1}) = 3-2 = 1$
La stessa cosa è per $MG(\lambda_{2})$ e per $MG(\lambda_{3})$. In tutti e tre i casi ho molteplicità geometrica pari a 1.
Spero di aver capito bene come si calcola la molteplicità geometrica.
Ora il problema più grande nasce nel trovare la matrice diagonalizzante!!!
A quanto mi risulta la matrice $M$ è diagonalizzabile perchè:
1) la somma delle molteplicità algebriche è pari alla dimensione della matrice
2) le molteplicità geometriche degli autovalori corrispondono alle rispettive molteplicità algebriche
Ora... la matrice diagonalizzante $T$ , avevo capito che fosse una matrice formata da tre autovettori di $M$, ma non mi tornano i conti.
Io ho costruito la matrice diagonalizzante prendendo le basi degli autospazi ottenendo quindi:
$T=( ( 0 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Facendo quindi la seguente operazione $L=T^{-1}MT$ dovrei ottenere una matrice diagonale formata dagli autovalori della matrice $M$, ma invece ottengo:
$T=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),(-3 , 0 , -1 ) ) $
che ha gli autovalori sulla diagonale, ma non è una matrice diagonale.
Qualcuno sa indicarmi dove sbaglio?
Grazie mille
Risposte
non mi vorrei sbagliare ma $|A-Iλ|=(1-λ)(λ^2+λ+2)=0$
ma dato che la seconda ha delta<0 la matrice non è diagonalizzabile
ma dato che la seconda ha delta<0 la matrice non è diagonalizzabile
Per prima cosa... Grazie raynon per avermi risposto 
Forse sono io che non ho le idee chiare al riguardo, ma mi pare che entrambi i criteri di diagonalizzabilità siano rispettati.
Intendo le molteplicità algebriche e geometriche.
Purtroppo questo per me è un argomento non ancora del tutto chiaro.
Considera che sto imparando da solo per interesse personale, non sto seguendo lezioni o altro.
Quindi è possibile che io mi sia perso qualche passaggio.
L'equazione che tu mi hai indicato, io la vedo con una serie di punti interrogativi. Suppongo che sia un problema di visualizzazione di formule in Latex.
Intendevi scrivere il polinomio caratteristico della matrice?
Se è così, per cortesia, mi spieghi meglio il tuo ragionamento, magari mi aiuta a capire.
Grazie mille
Forse sono io che non ho le idee chiare al riguardo, ma mi pare che entrambi i criteri di diagonalizzabilità siano rispettati.
Intendo le molteplicità algebriche e geometriche.
Purtroppo questo per me è un argomento non ancora del tutto chiaro.
Considera che sto imparando da solo per interesse personale, non sto seguendo lezioni o altro.
Quindi è possibile che io mi sia perso qualche passaggio.
L'equazione che tu mi hai indicato, io la vedo con una serie di punti interrogativi. Suppongo che sia un problema di visualizzazione di formule in Latex.
Intendevi scrivere il polinomio caratteristico della matrice?
Se è così, per cortesia, mi spieghi meglio il tuo ragionamento, magari mi aiuta a capire.
Grazie mille
si, sostituisci i vari "$[?][?]$" con $lambda$.
se i conti che ha riportato son giusti, significa che il polinomio caratteristico non ha tutte le radici nel campo reale, quindi non vale più la prima condizione di diagonalizzazione
se i conti che ha riportato son giusti, significa che il polinomio caratteristico non ha tutte le radici nel campo reale, quindi non vale più la prima condizione di diagonalizzazione
il polinomio ha radici 0, 1 e -1, perché dici che non sono in campo reale?
Ho controllato anche con Matlab e Scilab. Mi vengono quelli come autovalori.
Ho controllato anche con Matlab e Scilab. Mi vengono quelli come autovalori.
I polinomio caratteristico ha radici $lambda_1=0$, $lambda_2=1$, $lambda_3=-1$, proprio come dici tu.
Penso di avere trovato l'errore:
A me l'autovettore viene $((0),(1),(2))$
Penso di avere trovato l'errore:
"Summerwind78":
Per quanto riguarda gli autovettori ho trovato:
$A_{\lambda_{1}}= \alpha( ( 0 ),( 2 ),( 1 ) )...$
A me l'autovettore viene $((0),(1),(2))$
Per l'autovalore $\lambda_{1} = 0$ risolvo il sistema:
$((1,0,0),(-1,-2,1),(0,-2,-1))((x),(y),(z)) = \lambda_{1}((x),(y),(z)) \Rightarrow ((1,0,0),(-1,-2,1),(0,-2,-1))((x),(y),(z))=0((x),(y),(z))$
che mi da il sistema:
${ ( x + 0 + 0 = 0 ),( -x-2y+z=0 ),( 0-2y-z=0 ):} \Rightarrow { ( x=0),( 2y=z ):}$
se pongo $z=\alpha$ ottengo un vettore:
$U_{1}=((0),(2\alpha),(\alpha)) \Rightarrow U_{1}=\alpha((0),(2),(1))$
Gi8 mi indici per favore come hai trovato tu il tuo autovettore?
In effetti ho controllato, con il tuo autovettore la matrice diagonale la trovo!
$((1,0,0),(-1,-2,1),(0,-2,-1))((x),(y),(z)) = \lambda_{1}((x),(y),(z)) \Rightarrow ((1,0,0),(-1,-2,1),(0,-2,-1))((x),(y),(z))=0((x),(y),(z))$
che mi da il sistema:
${ ( x + 0 + 0 = 0 ),( -x-2y+z=0 ),( 0-2y-z=0 ):} \Rightarrow { ( x=0),( 2y=z ):}$
se pongo $z=\alpha$ ottengo un vettore:
$U_{1}=((0),(2\alpha),(\alpha)) \Rightarrow U_{1}=\alpha((0),(2),(1))$
Gi8 mi indici per favore come hai trovato tu il tuo autovettore?
In effetti ho controllato, con il tuo autovettore la matrice diagonale la trovo!
"Summerwind78":Fin qui ho fatto come te.
$... { ( x=0),( 2y=z ):}$
L'errore è immediatamente dopo:
"Summerwind78":
se pongo $z=\alpha$ ottengo un vettore:
$U_{1}=((0),(2\alpha),(\alpha)) \Rightarrow U_{1}=\alpha((0),(2),(1))$
Se poni $z=alpha$ hai $2y=alpha=> y=alpha/2$
Pertanto il vettore è $U_1=((0),(alpha/2),(alpha))=alpha*((0),(1/2),(1))$
Scegliendo $alpha=2$ si ha $U_1=((0),(1),(2))$
Oh caspita, hai ragione!!!
Cavolo ho fatto un errore stupidissimo!!!
Mi sa che devo dormire di piú!!!!
Grazie mille a tutti!!!!
Cavolo ho fatto un errore stupidissimo!!!
Mi sa che devo dormire di piú!!!!
Grazie mille a tutti!!!!
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