Matrice diagonalizzabile e sistema indipendente di autovettori
Buongiorno a tutti e scusatemi per il disturbo 
.
Non ho ben chiara la seconda parte di questo esercizio e vorrei dunque una spiegazione, se possibile.
Stabilire se la matrice B=
$((3,0,0),(1,3,0),(1,0,1))$
risulta diagonalizzabile ed esibire un sistema indipendente massimale di autovettori di B.
Ora, data la matrice, gli autovettori dovrebbero essere dati dal determinante ($(3-\lambda)^2 (1-\lambda)$), ovvero 3 e 1(con molteplicità 2 e 1).
Tuttavia non mi trovo con le molteplicità geometriche(mi vengono diverse da quelle algebriche), quindi la matrice non dovrebbe essere diagonalizzabile. Ma probabilmente sbaglio qualcosa ò.ò(rango della matrice di partenza meno rango della matrice con l'autovalore)
Per il secondo punto invece ho una mezz'idea di cosa voglia, ma non saprei da dove partire. Praticamente, io so che in $R^n$, n rappresenta il numero massimo di vettori linearmente indipendenti. n+1 vettori sono lineramente dipendenti. mA Poi come continuo? O.o
.Non ho ben chiara la seconda parte di questo esercizio e vorrei dunque una spiegazione, se possibile.
Stabilire se la matrice B=
$((3,0,0),(1,3,0),(1,0,1))$
risulta diagonalizzabile ed esibire un sistema indipendente massimale di autovettori di B.
Ora, data la matrice, gli autovettori dovrebbero essere dati dal determinante ($(3-\lambda)^2 (1-\lambda)$), ovvero 3 e 1(con molteplicità 2 e 1).
Tuttavia non mi trovo con le molteplicità geometriche(mi vengono diverse da quelle algebriche), quindi la matrice non dovrebbe essere diagonalizzabile. Ma probabilmente sbaglio qualcosa ò.ò(rango della matrice di partenza meno rango della matrice con l'autovalore)
Per il secondo punto invece ho una mezz'idea di cosa voglia, ma non saprei da dove partire. Praticamente, io so che in $R^n$, n rappresenta il numero massimo di vettori linearmente indipendenti. n+1 vettori sono lineramente dipendenti. mA Poi come continuo? O.o
Risposte
Buongiorno 
Attenzione che quello che trovi dallo studio di $det(A-lambdaI)$ non sono gli autovettori ma gli autovalori, peró probabilmente questo è solo un refuso.
Affinché la tua matrice sia diagonalizzabile deve avvenire che $g(lambda)=Alg(lambda)$.
Se tutti gli autovalori hanno $Alg(lambda)=1$ allora stai sereno che la matrice è diagonalizzabile[nota]Poiché $1<=g(lambda)<=Alg(lambda)$, allora, in questo caso, la moltipplicità geometrica è costretta a essere uguale a quella algebrica.[/nota] ; se invece accade che alcuni autovalori abbiano $Alg(lambda)>1$, è necessario verificare che anche la molteplicità geometrica abbia lo stesso valore.
Pertanto, per l'autovalore $3$ sai che ha $Alg(3)=2$, mentre la molteplicità geometrica quanto vale?
Non capisco quale sia il problema: quello che hai scritto è giusto ma cosa c'entra con l'esercizio?
Nel caso in cui la tua matrice sia diagonalizzabile (cioè se $Alg(3)=g(3)$) saprai con certezza che avrai una base di autovettori (relativi ai propri autovalori): occorre esibirla.
EDIT:
non mi ero accordo di tutta questa parte
$g(3)=3-r((0,0,0),(1,0,0),(1,0,-2))=3-2=1ne2=Alg(3)$, e quindi la matrici non è diagonalizzabile, ciò implica che potrai esibire solo un insieme di due autovettori indipendenti (uno relativo all'autovalore $3$ e l'altro all'autovalore $1$), tuttavia tale insieme non potrà essere una base di autovettori in quanto mancherebbe il secondo autovettore relativo all'autovalore $3$ (come sarebbe dovuto essere se la matrice fosse stata diagonalizzabile).
"Narheru":
Stabilire se la matrice
$B=((3,0,0),(1,3,0),(1,0,1))$
risulta diagonalizzabile [...]
Ora, data la matrice, gli autovettori dovrebbero essere dati dal determinante $(3-\lambda)^2 (1-\lambda)$, ovvero $3$ e $1$ (con molteplicità 2 e 1).
Tuttavia non mi trovo con le molteplicità geometriche (mi vengono diverse da quelle algebriche), quindi la matrice non dovrebbe essere diagonalizzabile.
Ma probabilmente sbaglio qualcosa (rango della matrice di partenza meno rango della matrice con l'autovalore)
Attenzione che quello che trovi dallo studio di $det(A-lambdaI)$ non sono gli autovettori ma gli autovalori, peró probabilmente questo è solo un refuso.
Affinché la tua matrice sia diagonalizzabile deve avvenire che $g(lambda)=Alg(lambda)$.
Se tutti gli autovalori hanno $Alg(lambda)=1$ allora stai sereno che la matrice è diagonalizzabile[nota]Poiché $1<=g(lambda)<=Alg(lambda)$, allora, in questo caso, la moltipplicità geometrica è costretta a essere uguale a quella algebrica.[/nota] ; se invece accade che alcuni autovalori abbiano $Alg(lambda)>1$, è necessario verificare che anche la molteplicità geometrica abbia lo stesso valore.
Pertanto, per l'autovalore $3$ sai che ha $Alg(3)=2$, mentre la molteplicità geometrica quanto vale?
"Narheru":
[...] esibire un sistema indipendente massimale di autovettori di B.
Praticamente, io so che in $RR^n$, $n$ rappresenta il numero massimo di vettori linearmente indipendenti. $n+1$ vettori sono lineramente dipendenti. Ma poi come continuo?
Non capisco quale sia il problema: quello che hai scritto è giusto ma cosa c'entra con l'esercizio?
Nel caso in cui la tua matrice sia diagonalizzabile (cioè se $Alg(3)=g(3)$) saprai con certezza che avrai una base di autovettori (relativi ai propri autovalori): occorre esibirla.
EDIT:
non mi ero accordo di tutta questa parte
"Narheru":
Tuttavia non mi trovo con le molteplicità geometriche (mi vengono diverse da quelle algebriche), quindi la matrice non dovrebbe essere diagonalizzabile.
$g(3)=3-r((0,0,0),(1,0,0),(1,0,-2))=3-2=1ne2=Alg(3)$, e quindi la matrici non è diagonalizzabile, ciò implica che potrai esibire solo un insieme di due autovettori indipendenti (uno relativo all'autovalore $3$ e l'altro all'autovalore $1$), tuttavia tale insieme non potrà essere una base di autovettori in quanto mancherebbe il secondo autovettore relativo all'autovalore $3$ (come sarebbe dovuto essere se la matrice fosse stata diagonalizzabile).
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