Matrice diagonalizzabile?
Quando una matrice e' diagonalizzabile?
Una volta trovati autovalori e autovettori di una matrice, come faccio a sapere se la matrice e' diagonalizzabile?
Come faccio a sapere se gli autovettori trovati formano una base?
Scusate le tante domande, ma DEVO capire!
Una volta trovati autovalori e autovettori di una matrice, come faccio a sapere se la matrice e' diagonalizzabile?
Come faccio a sapere se gli autovettori trovati formano una base?
Scusate le tante domande, ma DEVO capire!
Risposte
Una matrice è diagonalizzabile se per ogni autovalore la molteplicità algebrica e quella geometrica coincidono.
In particolare se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è 1 allora la matrice è diagonalizzabile.
La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero delle volte che questo azzera il polinomio caratteristico.
Ad esempio se tu avessi l^2=0 l'autovalore l=0 azzera due volte il polinomio caratteristico (è di 2° grado).
La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dell'autospazio generato da tale autovalore.
La dimensione dell'autospazio è il numero di vettori che compongono la base, o detto in altri termini il maggior numero di vettori linearmente indipendenti che si possono tirar fuori da tale autospazio.
In particolare se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è 1 allora la matrice è diagonalizzabile.
La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero delle volte che questo azzera il polinomio caratteristico.
Ad esempio se tu avessi l^2=0 l'autovalore l=0 azzera due volte il polinomio caratteristico (è di 2° grado).
La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dell'autospazio generato da tale autovalore.
La dimensione dell'autospazio è il numero di vettori che compongono la base, o detto in altri termini il maggior numero di vettori linearmente indipendenti che si possono tirar fuori da tale autospazio.
Porca miseria....
non ho capito niente
non ho capito niente
Detto terra-terra:
Se hai una matrice n x n devi riuscire a trovare partendo dai k (k<=n) autovalori n autovettori.
Se ne trovi di meno (o due o piu' sono uguali o comunque scrivibili come combinazione lineare degli altri) nel fare i conti allora la matrice non e' diagonalizzabile... (o hai sbagliato i conti
)
In altri termini se la matrice X degli autovettori ha det diverso da zero la matrice e' diagonalizzabile altrimenti no!
Comunque se hai gli autovalori tutti diversi sicuramente la matrice e' diag. Se 2 o piu' autovalori sono uguali basta preoccuparsi di vedere se gli autovettori corrispondenti sono linearmente dipendenti o meno.
Se hai una matrice n x n devi riuscire a trovare partendo dai k (k<=n) autovalori n autovettori.
Se ne trovi di meno (o due o piu' sono uguali o comunque scrivibili come combinazione lineare degli altri) nel fare i conti allora la matrice non e' diagonalizzabile... (o hai sbagliato i conti
)In altri termini se la matrice X degli autovettori ha det diverso da zero la matrice e' diagonalizzabile altrimenti no!
Comunque se hai gli autovalori tutti diversi sicuramente la matrice e' diag. Se 2 o piu' autovalori sono uguali basta preoccuparsi di vedere se gli autovettori corrispondenti sono linearmente dipendenti o meno.
grazie, ora e' piu' chiaro!!
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