Matrice diagonalizzabile

[Frasandro]

Salve,

devo verificare se questa matrice è diagonalizzabile:


$ [ ( -1 , 0 , 2 ),( 1 , -2 , 1 ),( 2 , 2 , -7 ) ] $ ! Ho determinato gli autovalori, imponendo che il polinomio caratteristico

$ p(lambda )= det(A-lambdaI)=0 $

facendo i calcoli trovo un solo autovalore, $ lambda = -1 $ quindi non è diagonalizzabile... giusto?

Le condizioni affinchè la matrice sia diagonalizzabile quali sarebbero? Ho un pò di confusione

[Frasandro]

Semplicemente magnifico, grazie ! Purtroppo non ho i calcoli sotto mano...mi sa che ho combinato un gran casotto .. !! Saluti e grazie ancora

[Frasandro]

"TeM":

Infine, determiniamo l'autospazio relativo all'autovalore \(\lambda = -5+2\,\sqrt{2}\) calcolando
la soluzione del sistema omogeneo associato alla matrice \(M - \left(-5-2\,\sqrt{2}\right) I\): \[ \begin{bmatrix} 4-2\,\sqrt{2} & 0 & 2 & | & 0 \\ 1 & 3-2\,\sqrt{2} & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & -2-2\,\sqrt{2} & | & 0 \end{bmatrix} \; \; \Rightarrow \; \; \begin{cases} x =u \\ y = -\left(1+\sqrt{2}\right)u \\ z = -\left(2-\sqrt{2}\right)u \end{cases} \] \[ \Rightarrow \; \; (x,\,y,\,z) = \left(1, \; -1-\sqrt{2}, \; -2+\sqrt{2}\right) u \,, \; \; \forall\, u \in \mathbb{R} \; ; \] quindi \(E\left(-5+2\,\sqrt{2}\right) = \left \langle \left(1, \; -1-\sqrt{2}, \; -2+\sqrt{2}\right) \right \rangle\).

Non capisco perchè "spunta" $ x=u $ ....

[Frasandro]

ho provato e riprovato ma quei risultati non riesco ad ottenerli.... ho provato sia con la sostituzione che con Gauss ma niente

[Frasandro]

Avrei bisogno di un chiarimento relativo a quest altro esercizio, grazie !!

Dopo aver verificato che $A$ è diagonalizzabile, sfruttare solamente gli autovalori ottenuti per discutere l'invertibilità della stessa. Non saprei come procedere....non ho capito cosa fare

$ A=[ ( 1 , -2 , 1 ),( 1 , -1 , -1 ),( 3 , -4 , -1 ) ] $

[Frasandro]

"TeM": poi devi discutere circa l'invertibilità di \(A\) basandoti solamente sui valori dei propri autovalori. Su quest'ultimo fatto basta ricordare che gli autovalori della matrice inversa (qualora esista) sono i reciproci degli autovalori della matrice assegnata.

quindi dopo aver verificato che la matrice è diagonalizzabile devo verificare se è invertibile, per fare ciò devo calcolare il determinante della matrice formata dagli autovalori? !! In generale, per studiare la matrice inversa devo:
- calcolare il determinante di A , se diverso da zero posso passare al punto successivo;
- calcolo la matrice dei cofattori ecc ecc.... gli autovalori quando entrano in gioco, quando li devo utilizzare?

[Frasandro]

ho calcolato gli autovalori di $A$ : $ lambda _0=1 , lambda_1=3, lambda_2=-4 $ . $A$ essendo una matrice quadrata di ordine $3$ ed ammettendo $3$ autovalori distinti allora è diagonalizzabile.

Per quanto riguarda l'invertibilità, $A$ è invertibile perchè tra i suoi autovalori non c'è $lambda =0$ !

[Frasandro]

Thanks a lot